Relativitätstheorie - Fakultät für Physik und Astronomie - Universität ...
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190 Hamiltonsche Formulierung Krümmung Die Krümmung ist eine Lorentz-Algebra-wertige 2-Form definiert durch R a b = Ra bµν dxµ ∧ dx ν (9.25) R a b = dωab + ωac ∧ ω c b . (9.26) Diese Abbildung bildet zwei Richtungsvektoren (via µ,ν) auf eine 4 × 4-Matrix ab. Diese Matrix beschreibt, mit welcher Rate sich ein Tangentialvektor dargestellt in der Vierbeinbasis ändert, wenn er auf einem geschlossenen Weg aufgespannt durch die beiden Richtungsvektoren transportiert wird. Bemerkung: Als Übung zeige man, dass D 2 u a = R a b ∧ ub ist und dass aus der Torsionsfreiheit R a b ∧ eb = 0 folgt. Wirkung und Feldgleichungen im Vakuum Für verschwindende kosmologische Konstante lautet die Wirkung im Vierbeinformalismus S[e,ω] = 1 � 16πG εabcde a ∧ e b ∧ R cd wobei R implizit vom Spinor-Zusammenhang ω abhängt. Die 4 Feldgleichungen lauten dann (9.27) εabcd e a ∧ R bc = 0 (9.28) Die Feldgleichungen lassen sich in eine traditionellere Form bringen durch Definition des Ricci- Tensors R a µ = R ab µνe ν b (9.29) und des Ricci-Skalars Damit erhält man R = R a µe µ a . (9.30) R a µ − 1 2 Rea µ = 0. (9.31) Haye Hinrichsen — Allgemeine Relativitätstheorie
Anhang: Symbole ◦ Hintereinanderausführung ∼= isomorph zu ιXω Kontraktion von X mit ω in der äußeren Algebra ⊳ Normalteiler von ⊕ direkte Summe ⊗ Tensorprodukt (äußeres Produkt) ⋆ Hodge-Stern-Operator ∗ zum Dualraum gehörig ♭ Isomorphismus V → V ∗ , Index senken ♯ Isomorphismus V ∗ → V , Index heben × kartesisches Produkt ∧ Keilprodukt (antisymmetrisches Tensorprodukt) A Vektorpotential des elektromagnetischen Feldes ART Allgemeine Relativitätstheorie C Kontraktion eines Tensors d Äußere Ableitung einer Differentialform D Kovariante äußere Ableitung einer Differentialform F Feldstärketensor des elektromagnetischen Feldes g metrischer Tensor g∗ metrischer Tensor im Dualraum g Determinante des metrischen Tensors G Newtonsche Gravitationskonstante J Stromdichte des elektromagnetischen Feldes O(n) Orthogonale Gruppe in n Dimensionen Pn Gruppe der Permutationen von n Objekten SO(n) Spezielle orthogonale Gruppe in n Dimensionen SRT Spezielle Relativitätstheorie s Vorzeichen der Determinante des metrischen Tensors ω Volumenform ⋆(1) Z2 Gruppe der Spiegelungen Zyklische Gruppe von n Objekten Zn Haye Hinrichsen — Allgemeine Relativitätstheorie
- Seite 147 und 148: 6.2 Feldgleichungen 139 also wobei
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- Seite 206: 198 Index Skalarprodukt, 24 Skalenp
Anhang: Symbole<br />
◦ Hintereinanderausführung<br />
∼= isomorph zu<br />
ιXω Kontraktion von X mit ω in der äußeren Algebra<br />
⊳ Normalteiler von<br />
⊕ direkte Summe<br />
⊗ Tensorprodukt (äußeres Produkt)<br />
⋆ Hodge-Stern-Operator<br />
∗ zum Dualraum gehörig<br />
♭ Isomorphismus V → V ∗ , Index senken<br />
♯ Isomorphismus V ∗ → V , Index heben<br />
× kartesisches Produkt<br />
∧ Keilprodukt (antisymmetrisches Tensorprodukt)<br />
A Vektorpotential des elektromagnetischen Feldes<br />
ART Allgemeine <strong>Relativitätstheorie</strong><br />
C Kontraktion eines Tensors<br />
d Äußere Ableitung einer Differentialform<br />
D Kovariante äußere Ableitung einer Differentialform<br />
F Feldstärketensor des elektromagnetischen Feldes<br />
g metrischer Tensor<br />
g∗ metrischer Tensor im Dualraum<br />
g Determinante des metrischen Tensors<br />
G Newtonsche Gravitationskonstante<br />
J Stromdichte des elektromagnetischen Feldes<br />
O(n) Orthogonale Gruppe in n Dimensionen<br />
Pn<br />
Gruppe der Permutationen von n Objekten<br />
SO(n) Spezielle orthogonale Gruppe in n Dimensionen<br />
SRT Spezielle <strong>Relativitätstheorie</strong><br />
s Vorzeichen der Determinante des metrischen Tensors<br />
ω Volumenform ⋆(1)<br />
Z2 Gruppe der Spiegelungen<br />
Zyklische Gruppe von n Objekten<br />
Zn<br />
Haye Hinrichsen — Allgemeine <strong>Relativitätstheorie</strong>
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