Relativitätstheorie - Fakultät für Physik und Astronomie - Universität ...

190 Hamiltonsche Formulierung
Krümmung
Die Krümmung ist eine Lorentz-Algebra-wertige 2-Form
definiert durch
R a b = Ra bµν dxµ ∧ dx ν
(9.25)
R a b = dωab + ωac ∧ ω c b . (9.26)
Diese Abbildung bildet zwei Richtungsvektoren (via µ,ν) auf eine 4 × 4-Matrix ab. Diese Matrix
beschreibt, mit welcher Rate sich ein Tangentialvektor dargestellt in der Vierbeinbasis ändert,
wenn er auf einem geschlossenen Weg aufgespannt durch die beiden Richtungsvektoren
transportiert wird.
Bemerkung:
Als Übung zeige man, dass D 2 u a = R a b ∧ ub ist und dass aus der Torsionsfreiheit R a b ∧ eb = 0 folgt.
Wirkung und Feldgleichungen im Vakuum
Für verschwindende kosmologische Konstante lautet die Wirkung im Vierbeinformalismus
S[e,ω] = 1
�
16πG
εabcde a ∧ e b ∧ R cd
wobei R implizit vom Spinor-Zusammenhang ω abhängt. Die 4 Feldgleichungen lauten dann
(9.27)
εabcd e a ∧ R bc = 0 (9.28)
Die Feldgleichungen lassen sich in eine traditionellere Form bringen durch Definition des Ricci-
Tensors
R a µ = R ab µνe ν b
(9.29)
und des Ricci-Skalars
Damit erhält man
R = R a µe µ a . (9.30)
R a µ − 1
2 Rea µ = 0. (9.31)
Haye Hinrichsen — Allgemeine Relativitätstheorie