Relativitätstheorie - Fakultät für Physik und Astronomie - Universität ...

9.1 Alternative Formulierungen der ART 189
Kovariante Ableitung
Mit dem Spinor-Zusammenhang definiert man eine kovariante Ableitung D bzw. eine kovariante
partielle Ableitung Dµ, die auf Tensoren mit Lorentz-Indices wirkt. Ist X z.B. ein Vektorfeld mit
Lorentz-Darstellung X a , dann ist
DµX a = ∂µX a + ω a
µ b X b . (9.19)
Analog ist die kovariante partielle Ableitung eines Tensors 2. Stufe gegeben durch
DµT ab = ∂µX a + ω a
µ cω b
µ d T cd . (9.20)
Ebenso definiert man eine kovariante Ableitung auf Formen mit Lorentz-Indices. Ist z.B. α a eine
vierervektorwertige 1-Form, dann ist
bzw.
Torsionsfreiheit
Dα a := dα a + ω a b ∧ αb . (9.21)
Dµα a := dα a (∂µ) + ω a
µ b ∧ αb . (9.22)
Der Torsionstensor ist eine vektorwertige 2-Form T mit T(X,Y) = ∇XY − ∇Y − [X,Y]. Stellt
man den Ergebnisvektor in der Vierbeinbasis dar, kann man ihn als 4-komponentige 2-Form T a
auffassen. Man kann zeigen, dass
T a = De a
(9.23)
ist. Der Torsionstensor gibt Auskunft darüber, ob ein Tangentialvektor bei Paralleltransport im
Tangentialraum rotiert oder nicht. Die Raumzeit der ART ist ein torsionsfreier Raum, d.h.
T = 0.
Man kann zeigen, dass für ein vorgegebenes Vierbeinfeld genau ein torsionsfreier Spinor-Zusammenhang
existiert, der in diesem Formalismus das Gegenstück zum Levi-Civitá- Zusammenhang bildet
(siehe Abschnitt 4.2.6 auf S. 97). Er ist explizit gegeben durch die recht komplizierte Formel
ω ab
µ = 2e ν[a ∂ [µe b]
ν] + eµce νa e σb ∂ [σe c ν] , (9.24)
wobei die eckigen Klammern für zyklisches Permutieren stehen. Der Zusammenhang ist also im
allgemeinen die vierte Potenz des Gravitationsfeldes.
Bemerkung:
Der torsionsfreie Spinor-Zusammenhang lässt sich aus den Christoffelsymbolen berechnen durch
ω a
µ b = eν �
j ∂µe a ν − Γ ρ µνe a �
ρ .
Haye Hinrichsen — Allgemeine Relativitätstheorie