Relativitätstheorie - Fakultät für Physik und Astronomie - Universität ...

188 Hamiltonsche Formulierung
definiert, so dass
G =
3
∑
K=0
sign(λK) |eK〉〈eK|. (9.11)
ist. Auf diese Weise hat man die Matrix des metrischen Tensors (bis auf Vorzeichen) als Summe
von Projektoren bzw. dyadischen Produkten dargestellt. Das Skalarprodukt zweier Richtungsvektoren
X und Y ist dann
g(X,Y) = 〈X|G|Y 〉 =
3
∑
K=0
sign(λK) 〈X|eK〉〈eK|Y 〉. (9.12)
Die hier auftretenden Skalarprodukte kann man als das Ergebnis einer 1-Form e K auffassen:
g(X,Y) =
3
∑
K=0
sign(λK) e K (X)e K (Y ). (9.13)
Wegen sign(λ0) = −1 und sign(λ1,2,3) = +1 kann man dafür auch schreiben:
g(X,Y) = ηab e a (X)e b (Y ). (9.14)
An dieser Rechnung erkennen wir, dass die Vierbeinvektoren bzw. die dazu dualen 1-Formen im
wesentlichen die Eigenvektoren des metrischen Tensors sind.
9.1.2 ART im Vierbeinformalismus
Gravitationsfeld
Das Gravitationsfeld ist eine vierervektorwertige 1-Form
e a = e a µ dx µ
(9.15)
die Tangentialvektoren X ∈ T M in einem lokalen Minkowskiraum mit Komponenten X a =
e a (X) darstellt. Die lateinischen Indices a,b,c,... = 0,1,2,3 bezeichnen die Komponenten des
Minkowski-Vektors. Sie werden mit der Minkowski-Metrik ηab gehoben und gesenkt.
Zusammenhang
Der Zusammenhang ∇X angewandt auf Y ist definiert als die Änderungsrate des Vektorfeldes Y
bezüglich eines parallel mitgeführten Vektors, wenn man sich in Richtung X bewegt (siehe Abschnitt
4.2.4 auf S. 95). Dieser Zusammenhang wird in der lokalen Vierbeinbasis dargestellt als
eine so(3,1)-Lie-Algebra-wertige 1-Form
ω a b
= ω a
µ b dxµ
(9.16)
so dass gilt:
e a ∇XY = [∇XY] a = ω a bXY b = ω a
µ bX µ Y b . (9.17)
Dieser sogenannte Spinor-Zusammenhang (engl. spin connection) übernimmt in der Vierbeindarstellung
die gleiche Aufgabe wie die Christoffelsymbole in der Koordinatendarstellung. Der
Spinor-Zusammenhang ist antisymmetrisch in den Lorentz-Indices, sofern sie sich beide oben
oder unten befinden:
ω ab = −ω ba . (9.18)
Haye Hinrichsen — Allgemeine Relativitätstheorie