Relativitätstheorie - Fakultät für Physik und Astronomie - Universität ...

9.1 Alternative Formulierungen der ART 187
Wie wir sehen werden, repräsentieren die 1-Formen e a das Gravitationsfeld.
Wechsel zwischen Vierbein- und gewöhnlichen Koordinaten
Oft werden die Vierbeinbasis (e a ,ea) und die gewöhnliche Koordinatenbasis (dx µ ,∂µ) nebeneinander
benutzt. Um sie zun unterscheiden, werden die Komponenten mit großen lateinischen
bzw. griechischen Buchstaben kenntlich gemacht.
Zunächst lassen sich die Vierbeinvektorfelder in einer gegebenen Koordinatenbasis in Komponenten
darstellen:
ea = e µ a ∂µ , e b = e b µ dx µ . (9.6)
Ebenso lässt sich die Koordinatenbasis über dem Vierbein darstellen. Wegen (9.4) treten hier die
gleichen Koeffizienten auf
∂µ = e a µea , dx µ = e µ a e a
(9.7)
wobei die beiden auftretenden Transformationsmatrizen zueinander invers sind:
e a µe µ
b = δ a b , ea µe ν a = δ ν µ . (9.8)
Damit ist es leicht möglich, zwischen Koordinaten- und Vierbeindarstellung zu wechseln:
Objekt Koordiantendarst. Vierbeindarst. Koordianten↔Vierbein
Vektorfeld X X = X µ ∂µ X = X a ea X a = e a µX µ X µ = e µ a X a
1-Form-Feld α α = αµ dx µ
Vom metrischen Tensor zum Vierbein
α = αae a αa = e µ a αµ αµ = e a µαi
In der traditionellen Formulierung der ART wird die Wirkung nach den Komponenten des metrischen
Tensors variiert, d.h. die Komponenten gµν werden als die elementaren Freiheitsgrade
des Gravitationsfeldes interpretiert. Im Vierbeinformalusmus dagegen werden die 1-Formen e a
als elementare Freiheitsgrade interpretiert, und in Büchern ist zu lesen, dass diese 1-Formen
gewissermaßen die Wurzel des metrischen Tensors seien. Was hat es damit auf sich?
Ausgangspunkt ist die Feststellung, dass G = {gµν} eine reelle symmetrische Matrix ist.
Sie besitzt daher reelle Eigenwerte λ0,λ1,λ2,λ3 und paarweise orthogonale Eigenvektoren, die
wir hier in Dirac-Notation |0〉,|1〉,|2〉,|3〉 schreiben wollen. Wenn man das Eigenwertproblem
G|K〉 = λ|K〉 gelöst hat, kann man den metrischen Tensor in der Spektraldarstellung
G =
3
∑
K=0
λK |K〉〈K| (9.9)
schreiben, wobei die Eigenvektoren normiert sind. Wegen der Signatur der Metrik ist ein Eigenwert
(sagen wir λ0) negativ, während die anderen drei positiv sind. Man kann nun die Eigenwerte
absorbieren, indem man nicht-normierte Eigenvektoren
|eK〉 = � |λK||K〉 (9.10)
Haye Hinrichsen — Allgemeine Relativitätstheorie