Relativitätstheorie - Fakultät für Physik und Astronomie - Universität ...

186 Hamiltonsche Formulierung
Vierbeine in beschleunigten Bezugssystemen
Das Vierbeinkonzept ist nicht auf den freien Fall beschränkt, sondern kann auch für beschleunigte
Beobachter sinnvoll definiert werden. Auch wenn der Astronaut seinen Raketenantrieb
einschaltet, kann er immer noch ein lokal flaches Koordinatensystem definieren, so dass der metrische
Tensor in seinem Aufenthaltsort die Form einer Minkowskimetrik annimmt. Gleiches gilt
für einen Erdbewohner, der rotiert und der Erdbeschleunigung unterliegt. Die Beschleunigung
ist nämlich an einem gegebenen Punkt nicht durch den metrischen Tensor, sondern durch dessen
Ableitungen festgelegt.
Wir können uns also im folgenden vorstellen, dass die Raumzeit mit Trajektorien durchsetzt
ist, die beliebig geformt sein können, sich nur nicht schneiden dürfen. Auf jeder dieser Trajektorien
wird ein Vierbein transportiert, das in jedem Punkt eine lokale Minkowski-Metrik (sozusagen
die Laborkoordinaten des Astronauten) definiert. Der Vektor e0 weist dabei in zeitliche
Richtung, das verbleibende räumliche Dreibein ist bis auf Rotation im R 3 festgelegt. Das
Dreibein kann also durchaus im Vergleich zu einem parallel transportierten Vektor entlang der
Trajektorie rotieren. In diesem Fall spricht man von einem rotierenden Vierbein (engl. spinning
tetrad).
Mit dieser allgemeineren Interpretation ist es z.B. möglich, mit dem Vierbeinformalismus
einen fiktiven Beobachter zu beschreiben, der über dem Rand eines schwarzen Lochs mit seinem
Raumschiff schwebt, sofern sein Raketenantrieb stark genug ist.
Darstellung von Richtungsvektoren in Vierbeinkoordinaten
Das Vierbeinfeld e0,e1,e2,e3 stellt in jedem Punkt der Raumzeit eine lokale Basis zur Verfügung.
Ein Richtungsvektorfeld X ∈ T M kann also über dieser Basis in Koordinaten dargestellt
werden durch
X = X a ea , (9.3)
wobei über die Großbuchstabenindices wie üblich summiert wird. Um die Komponenten X a
zu berechnen, betrachten wir die zum Vierbein dualen 1-Formen e b (engl. coframes) mit der
üblichen Definitionseigenschaft
e b (ea) = δ b a . (9.4)
Dann ist e b (X) = X a e b (xa) = X a δ b a , also
X a = e a (X). (9.5)
Abbildung 9.1: Transport eines lokalen orthogonalen Koordinatensystems im freien Fall (siehe Text).
Haye Hinrichsen — Allgemeine Relativitätstheorie