Relativitätstheorie - Fakultät für Physik und Astronomie - Universität ...

9 Hamiltonsche Formulierung
Sie werden sicher bemerkt haben, dass wir in den letzten beiden letzten Kapiteln kein Gebrauch
von Differentialformen gemacht haben, sondern die in Kap. 6.2 hergeleiteten Feldgleichungen
in konventioneller Indexnotation benutzen. Nach dem astrophysikalischen und kosmologischen
Exkurs wollen wir nun zur Theorie zurückkehren und uns mit alternativen modernen Formulierungen
der allgemeinen Relativitätstheorie befassen.
9.1 Alternative Formulierungen der ART
9.1.1 Vierbeinfelder
Man stelle sich vor, dass die Raumzeit von undendlich vielen fiktiven (also masselosen nichtwechselwirkenden)
Beobachtern durchsetzt sei, die sich alle im freien Fall befinden. Jeder dieser
Beobachter befindet sich also lokal in einem Intertialsystem, in dem er ein lokales Koordinatensystem
mit Minkowskimetrik definieren kann, das er während des freien Falls mit sich führt. Mit
anderen Worten: ein Astronaut in einem antriebslosen Raumschiff kann sich in seinem Raumschiff
ein lokales ct,x,y,z-Koordinatensystem mit flacher Metrik definieren und während des
schwerelosen Fluges mit sich führen (siehe Abb. 9.1). Ein solches lokal flaches Koordinatensystem
wird in der Mathematik als Rahmen (engl. frame) bezeichnet. Die entsprechenden Basisvektorfelder
{eI} = {e0,e1,e2,e3} eI ∈ T M , I = 0,...,3 (9.1)
für die Gesamtheit aller Beobachter heißen Rahmenfelder oder auch Vierbeinfelder (engl. frame
fields, tetrad field, vierbein) und werden üblicherweise mit lateinischen Buchstaben indiziert,
während griechische Indices des gewöhnlichen Koordinatenbasis vorbehalten bleiben.
Konvention:
Lateinische Indices a,b,c,d,... für die Tetradbasis.
Griechische Indices µ,ν,ρ... für die Koordinatenbasis.
Ein Vierbein ist also so definiert, dass es für jede Trajektorie ein lokales Koordinatensystem
vorgibt, in dem der metrische Tensor wie eine Minkowskimetrik aussieht:
g(ea,eb) = ηab . (9.2)
Der Vektor e0 wird dabei immer so orientiert, dass er die Eigenzeit des Beobachters beschreibt.
Die übrigen Vektoren bilden ein orthogonales Dreibein, das bis auf eine räumliche Rotation
festgelegt ist. Das Dreibein kann auf also jeder Trajektorie unterschiedlich ausgerichtet werden,
allerdings nur so, dass das gesamte Vektorfeld stetig differenzierbar bleibt.
Haye Hinrichsen — Allgemeine Relativitätstheorie