Relativitätstheorie - Fakultät für Physik und Astronomie - Universität ...

1.3 Lineare Abbildungen 11
1.3.3 Basistransformationen
Unter einer Transformation versteht man einen Isomorphismus, der das zu beschreibende Objekt
umformt. Grundsätzlich gibt es zwei verschiedene Arten von Transformationen:
• Aktive Transformationen, mit denen das zu beschreibende Objekt manipuliert, also beispielsweise
gedreht oder verschoben wird.
• Passive Transformationen, die zwischen verschiedenen Darstellungen vermitteln, wobei
das zu beschreibende Objekt unverändert bleibt.
In der linearen Algebra interessieren uns vor allem lineare Transformationen. Vektorraumautomorphismen,
also lineare Abbildungen, die durch quadratische Matrizen beschrieben werden,
sind aktive Transformationen, da sie gegebene Vektoren auf neue Vektoren abbilden. Davon zu
unterscheiden sind passive lineare Transformationen, die zwischen verschiedenen Darstellungen
vermitteln. Da eine Darstellung durch die Wahl der Basis festgelegt ist, handelt es sich also um
Basistransformationen.
Im folgenden betrachten wir eine Basistransformation, mit der eine Basis ei auf eine andere
gestrichene Basis {e ′ i} abgebildet wird. Die neuen Basisvektoren müssen sich als Linearkombination
über den alten Basisvektoren darstellen lassen, d.h.
ei → e ′ i = ek ˜M k i
(1.16)
wobei ˜M die entsprechende Transformationsmatrix ist, deren Determinante ungleich Null sein
muss. Während ein Vektor v ∈ V unter solch einer (passiven) Basistransformation unverändert
bleibt, ändern sich jedoch seine Komponenten. Wegen v = vkek = v ′i
e ′
i = v ′i
ek ˜M k i erhält man
durch Koeffizientenvergleich vk = v ′i ˜M k i . Daraus folgt das Transformationsgesetz für die Komponenten
wobei M = ˜M −1 ist.
v i → v ′i = M i jv j
Merke: Wenn die Vektorkomponenten v i sich mit der Matrix M transformieren, müssen sich die
Basisvektoren mit der Matrix M −1 transformieren und umgekehrt.
(1.17)
Basistransformation linearer Abbildungen:
Ebenso transformiert sich die Darstellung einer linearen Abbildung A : V → V . Wenn w = Av
ist, lautet die entsprechenden Darstellungen gemäß Gl. (1.14) in der ungestrichenen und der
gestrichenen Basis
w j = A j
ivi , w ′ j ′ j
= A iv′i (1.18)
wobei A j
i und A′ j
i quadratische Matrizen sind. Wegen v′i = Mi jv j und w ′i
= Mi jw j ergibt sich
das Transformationsgesetz
A ′ j
i
= M j
k Ak ℓ ˜M ℓ i
(1.19)
oder kurz A ′ = MAM −1 . Nochmals sei darauf hingewiesen, dass die Basistransformation die
lineare Abbildung als solche nicht verändert, sondern lediglich ihre Darstellung.
Haye Hinrichsen — Allgemeine Relativitätstheorie