Relativitätstheorie - Fakultät für Physik und Astronomie - Universität ...
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180 Kosmologie gleichung: ˙R 2 2 8πG = R 3c2 (ρS + ρM + ρV ) − k (8.43) Multiplizieren wir diese Gleichung nun mit c2 R 2 , so erhalten wir den Ausdruck H 2 = 8πG 3 (ρS + ρM + ρV ) − kc2 R2 (8.44) In dieser Formulierung sind die Dichteparameter allerdings zeitabhängig, mit Ausnahme von ρV , den wir als konstant 10 annehmen. Um hier wieder zeitunabhägige Konstanten (und opti- malerweise dimensionslose) zu erhalten, teilen wir die Gleichung nochmal durch H2 0 . Mit Null indizierte Größen sind im Folgenden immer die Größen zum heutigen Zeitpunkt. Außerdem führen wir noch die Substitution x(t) := R(t) ein. Damit erhalten wir: R0 � H H0 � 2 = 8πG 3H2 � 4 1 3 1 � ρSx(t) + ρMx(t) + ρV − 0 x(t) 4 x(t) 3 kc2 R2 0H2 1 0 x(t) 2 (8.45) Nun können wir die dimensionslosen Parameter ΩS, ΩM, ΩV und ΩK einführen welche jeweils den Faktor 8πG 3H2 , die Dichten sowie die zugehörigen Terme für die zeitliche Konstanz enthalten. 0 Damit erhalten wir die Darstellung der Friedmanngleichung, die man zumeist in der Literatur findet: � H �2 (8.46) H0 = ΩS ΩM + x(t) 4 x(t) 3 + ΩV + ΩK x(t) 2 Sie vereinfacht sich noch einmal dadurch, dass ρS und damit auch ΩS vernachlässigbar klein gegenüber ρM und ρV bzw. ΩM und ΩV ist. Außerdem erhalten wir, wenn wir die Gleichung für den heutigen Zeitpunkt t0 betrachten, die einschränkende Bedingung: 1 = ΩM + ΩV + ΩK Man erhält somit, bei bestmöglicher Vereinfachung der Gleichung, folgendes Ergebnis: H 2 = H 2 � 0 � ΩM x(t) 3 + ΩV + 1 − ΩM − ΩV x(t) 2 (8.47) (8.48) Nun können wir anfangen, in diese Gleichung experimentell bestimmte Daten einzusetzen. So erhalten wir z.B. für H0 aus verschiedenen Messungen Werte, die alle annähernd den Wert (72 ± 3) km/s Mpc haben. Einzelne Ergebnisse für unterschiedliche Messungen von H0 wären: • Messungen mit dem Hubble-Weltraum-Teleskop ergaben das neueste Ergebnis: H0 = 74,2 ± 3,6 km sMpc • Messungen der Sonde WMAP ergaben: H0 = 70,5 ± 1,3 km sMpc • Auswertungen von Bildern des Hubble-Teleskop nach der Gravitationslinsenmethode lieferten den Wert: H0 = 69,7 ± 4,9 km sMpc 10 ...allerdings auch nur mangels besseren Wissens und in Folge des heuristischen Prinzips der Einfachheit Haye Hinrichsen — Allgemeine Relativitätstheorie
8.3 Unser Universum 181 • Entfernungsmessungen von 600 Cepheiden und 261 Supernovae Typ Ia ergaben: H0 = 73,8 ± 2,4 km sMpc Für q0 erhalten wir aus (relativ jungen) Messungen der weiter oben angesprochenen Supernovae Typ Ia den Wert: q0 = −0.50 ± 0.03. Das heißt, dass sich die Expansion des Universums aktuell beschleunigt. Diese Erkenntnis ist relativ neu 11 . Mit ihr musste auch das bis dahin favorisierte Einstein-de Sitter-Universum verworfen werden. Außerdem lässt sich die Materiedichte des Universums über ihre Gravitationswirkung recht gut bestimmen. Aus den entsprechenden Messungen ergibt sich hier ein Wert von etwa ΩM = 0.27±0.03. Für die Dichte der sichtbaren Materie, die wir aus Betrachtungen mit Teleskopen etwa bestimmen können, ergibt sich übrigens ein ungleich kleinerer Wert: ΩMS ≈ 0.005. Es bleibt daher die Frage, wie der Rest der nicht sichtbaren, also dunklen Materie, aufgebaut sein soll. Eine Möglichekeit wären massive Objekte, wie z.B. Planeten oder braune Zwerge (sog. MA- CHOs, Massive astrophysical compact halo objects). Damit wäre sie wie normale Materie aus Atomen oder zumindest Protonen und Neutronen aufgebaut. Man spricht deshalb von baryonischer Materie. Allerdings lässt sich wiederum nur ein kleiner Teil der dunklen Materie mit Hilfe von baryonischer Materie erklären: Man kann aus der Häufigkeit der beim Urknall gebildeten leichten Elemente (insbesondere mit Hilfe von Deuterium) auf die Menge an baryonischer Materie schließen und erhält somit: ΩB ≈ 0.05. Der Rest der dunklen Materie muss also exotische Materie sein. Dazu zählen z.B. Neutrinos. Wegen ihrer hochrelativistischen Geschwindigkeiten bezeichnet man sie auch als heiße dunkle Materie. Simulationen eines haupsächlich aus solch hochrelativistischen Teilchen bestehenden Universums ergeben jedoch ein völlig anderes Bild als jenes, welches wir im Weltall vorfinden. Es muss also auch kalte dunkle Materie geben: schwach wechselwirkende Teilchen (sog. WIMPs, Weakly Interacting Massive Particles) deren Natur noch unbekannt ist. Sie sind ein großes Rätsel der aktuellen Kosmologie. Letztlich lässt sich, auf indirektem Weg über Messungen der Isotropie der kosmischen Hintergrundstrahlung, die Krümmung des Raumes bestimmen. Man erhält so den Wert Ωk = −0.023± 0.050. Die Raumzeit ist also weitest gehend flach. Es wäre im Rahmen des Fehlers auch eine völlig flache Raumzeit denkbar. Man kann auch durch direkte Messungen die Krümmung der Raumzeit bestimmen, indem man den Umfang eines Kreises oder die Fläche einer Kugel im Raum bestimmt und diesen mit dem euklidischen Wert vergleicht. Diese Messungen sind jedoch mit sehr großen Fehlern behaftet und darum noch nicht von praktischem Nutzen. Mit den vorangegangenen Daten erhalten wir schließlich ΩV = 0.73 ± 0.03. Das heißt, dass das Universum zum größten Teil vom Vakuum und seiner Auswirkung dominiert wird. Wie genau das Verhältnis zwischen ΩM und ΩV aussieht, lässt sich mit Hilfe von Ergebnissen verschiedener Messungen von H0 und q0 eingrenzen. Dies lässt sich mit folgender Grafik 12 veranschaulichen: 11 Genauer genommen aus dem Jahr 1998, in dem zwei Forschungsgruppen Ergebnisse der Messungen von Supernovae Typ Ia veröffentlicht haben. Für diese Ergebnisse wurde den US-amerikanischen Astornomen Adam Riess, Brian Schmidt und Saul Perlmutter 2010 der Nobelpreis für Physik verliehen. 12 Quelle: http://www.eso.org Haye Hinrichsen — Allgemeine Relativitätstheorie
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180 Kosmologie<br />
gleichung:<br />
˙R 2 2 8πG<br />
= R<br />
3c2 (ρS + ρM + ρV ) − k (8.43)<br />
Multiplizieren wir diese Gleichung nun mit c2<br />
R 2 , so erhalten wir den Ausdruck<br />
H 2 = 8πG<br />
3 (ρS + ρM + ρV ) − kc2<br />
R2 (8.44)<br />
In dieser Formulierung sind die Dichteparameter allerdings zeitabhängig, mit Ausnahme von<br />
ρV , den wir als konstant 10 annehmen. Um hier wieder zeitunabhägige Konstanten (<strong>und</strong> opti-<br />
malerweise dimensionslose) zu erhalten, teilen wir die Gleichung nochmal durch H2 0 . Mit Null<br />
indizierte Größen sind im Folgenden immer die Größen zum heutigen Zeitpunkt. Außerdem<br />
führen wir noch die Substitution x(t) := R(t)<br />
ein. Damit erhalten wir:<br />
R0<br />
� H<br />
H0<br />
� 2<br />
= 8πG<br />
3H2 �<br />
4 1<br />
3 1<br />
�<br />
ρSx(t) + ρMx(t) + ρV −<br />
0 x(t) 4 x(t) 3 kc2<br />
R2 0H2 1<br />
0 x(t) 2<br />
(8.45)<br />
Nun können wir die dimensionslosen Parameter ΩS, ΩM, ΩV <strong>und</strong> ΩK einführen welche jeweils<br />
den Faktor 8πG<br />
3H2 , die Dichten sowie die zugehörigen Terme <strong>für</strong> die zeitliche Konstanz enthalten.<br />
0<br />
Damit erhalten wir die Darstellung der Friedmanngleichung, die man zumeist in der Literatur<br />
findet: �<br />
H<br />
�2 (8.46)<br />
H0<br />
= ΩS ΩM<br />
+<br />
x(t) 4 x(t) 3 + ΩV + ΩK<br />
x(t) 2<br />
Sie vereinfacht sich noch einmal dadurch, dass ρS <strong>und</strong> damit auch ΩS vernachlässigbar klein<br />
gegenüber ρM <strong>und</strong> ρV bzw. ΩM <strong>und</strong> ΩV ist. Außerdem erhalten wir, wenn wir die Gleichung <strong>für</strong><br />
den heutigen Zeitpunkt t0 betrachten, die einschränkende Bedingung:<br />
1 = ΩM + ΩV + ΩK<br />
Man erhält somit, bei bestmöglicher Vereinfachung der Gleichung, folgendes Ergebnis:<br />
H 2 = H 2 �<br />
0<br />
�<br />
ΩM<br />
x(t) 3 + ΩV + 1 − ΩM − ΩV<br />
x(t) 2<br />
(8.47)<br />
(8.48)<br />
Nun können wir anfangen, in diese Gleichung experimentell bestimmte Daten einzusetzen.<br />
So erhalten wir z.B. <strong>für</strong> H0 aus verschiedenen Messungen Werte, die alle annähernd den Wert<br />
(72 ± 3) km/s<br />
Mpc haben. Einzelne Ergebnisse <strong>für</strong> unterschiedliche Messungen von H0 wären:<br />
• Messungen mit dem Hubble-Weltraum-Teleskop ergaben das neueste Ergebnis:<br />
H0 = 74,2 ± 3,6 km<br />
sMpc<br />
• Messungen der Sonde WMAP ergaben:<br />
H0 = 70,5 ± 1,3 km<br />
sMpc<br />
• Auswertungen von Bildern des Hubble-Teleskop nach der Gravitationslinsenmethode lieferten<br />
den Wert:<br />
H0 = 69,7 ± 4,9 km<br />
sMpc<br />
10 ...allerdings auch nur mangels besseren Wissens <strong>und</strong> in Folge des heuristischen Prinzips der Einfachheit<br />
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