Relativitätstheorie - Fakultät für Physik und Astronomie - Universität ...

176 Kosmologie
Um die Rotverschiebung beschreiben zu können, betrachten wir ein Photon, das zur Zeit tE
emittiert wurde und nun zur Zeit t0 registriert wird. Anschließend vergleichen wir es mit einem
Photon, das einen kurzen Augenblick später tE + δtE ausgesendet wird. Wir können annehmen,
dass in der kurzen Zeitspanne δt der Skalenfaktor unverändert bleibt, der Weg beider Photonen
also gleich ist. Zur Berechnung verwenden wir die zuvor erhaltenen Ergebnisse (8.12) und
(8.13).
� t0+δt0
0 =
tE+δtE
cdt
R(t) −
� t0
tE
� t0
χ =
tE
cdt
R(t) =
� t0+δt0
t0
cdt
R(t) =
� t0+δt0
tE+δtE
cdt
R(t) −
cdt
R(t)
� tE+δtE
tE
cdt δt0 δtE
= −
R(t) R(t0) R(tE)
(8.28)
(8.29)
Betrachtet man nun einen Lichtimpuls, dessen Periodendauer δt ist, so erhält man die Relationen
ν0R(t0) = νER(tE) = const.
λ0
λE
= R(t0)
= const. (8.30)
R(tE)
Mit dem Verhältnis z = δλ λ0
λ = − 1 lässt sich die Rotverschiebung des Lichts einfach beschrei-
λE
ben. Setzt man hier das Verhältnis der Skalenfaktoren ein, so erhält man die von Hubble gefundene
Beziehung, wenn man die kosmische Expansion linear nähert:
z = R(t0)
R(tE) − 1 = R(t0) − R(tE)
R(tE)
Wobei H0 = c ˙R
R
= R(t0) − R(tE) (t0 −tE)c ˙Rc
≈
(t0 −tE)c R(tE) R (t0 −tE) = H0(t0 −tE) (8.31)
die sogenannte ”Hubble-Konstante”, oder besser der Hubble-Parameter zum
heutigen Zeitpunkt ist. Wir erhalten ihn auch, wenn wir für den Skalenfaktor eine Taylor-Entwicklung
anlegen:
R(t) = R(t0)+c ˙R(t0)(t −t0)+ 1
2 c2 ¨R(t0)(t −t0) 2 +... = R(t0) � 1+H0(t −t0)− 1
2 q0H 2 0 (t −t0) 2 +... �
(8.32)
Man nennt dann q0 den Dämpfungsparameter. Es gilt q0 = − ¨R(t0)R(t0)
˙R(t0) 2 . Setzen wir dies nun mit
t = tE in (8.31) ein und entwickeln diesen Bruch dis zur zweiten Ordnung in t, so erhalten wir
mit Hilfe der Gleichung für die Entfernung eines kosmischen Objekts in der FRW-Metrik, bei
der wir R(t) im Nenner des Integranden bis zur ersten Ordnung entwickeln die verallgemeinerte
Hubble-Relation:
z ≈ H0
c D + (1 + q0)H 2 0
2c2 D 2
(8.33)
Mit Hilfe dieser Berechnungen erhalten wir eine erste Näherungen für das Alter des sichtbaren
Universums sowie dessen Ausdehnung (auch Weltalter und Welthorizont genannt).
Für das Alter des Universums T0 erhält man also mit einer linearen Näherung:
T0 = H −1
0
Für die Entfernung des Horizonts ergibt sich:
� � T0
T0 cdt
D0 = R(t0) dχ = R(t0)
0
0 R(t)
(8.34)
(8.35)
Dies ist die maximale Entferung, in der Dinge mit uns kausal verbunden sein können. Über
den Bereich hinter dem Horizont können wir nur spekulieren, da mit ihm die Rotverschiebung
Haye Hinrichsen — Allgemeine Relativitätstheorie