Relativitätstheorie - Fakultät für Physik und Astronomie - Universität ...

10 Mathematische Grundlagen
Kern und Bild sind Teilräume von V bzw. W, die den sogenannten Dimensionssatz erfüllen:
dim � ker(A) � + dim � img(A) � = dim(V ). (1.8)
Die Dimension des Bildraums wird als Rang der Abbildung bezeichnet:
Außerdem gilt die Ungleichung
rank(A) = dim � img(A) �
(1.9)
rank(A) ≤ min(dimV,dimW). (1.10)
Eine lineare Abbildung kann nur dann vollen Rang rank(A) = dimV haben, wenn der Bildraum
genug Platz bietet, wenn also dimW ≥ dimV ist.
1.3.2 Darstellung linearer Abbildungen
Sei A : V → W eine lineare Abbildung und seien {ei}, {f j} Basen von V bzw. W. Ein Vektor
v ∈ V und dessen Bild w = A(v) ∈ W kann in diesen Basen durch
v = v i ei und w = w j f j (1.11)
dargestellt werden, wobei die Komponenten durch v i = e i (v) und w j = f j (w) gegeben sind.
Wegen der Linearität von A ist
A(v) = A(v i ei) = A(ei)v i , (1.12)
wobei A(ei) ∈ W ist. Dieser Vektor lässt sich über der Basis {f j} in Komponenten
A(ei) = A j (ei)
� �� �
=: A j
f j
i
(1.13)
darstellen, also ist A(v) = A j
i vi f j. Ein Vergleich mit A(v) = w = w j f j ergibt, dass die Komponenten
der Vektoren durch
w j = A j
i vi
(1.14)
aufeinander abgebildet werden. Diese Abbildungsvorschrift wird mit Hilfe einer Matrix wie z.B.
�
w1 w2 � �
A1 = 1 A1 2 A13 A2 1 A22 A2 �⎛
v
⎝
3
1
v2 v3 ⎞
⎠
(1.15)
mit der Rechenregel “Zeile mal Spalte” schematisiert. Lineare Abbildungen sind also für vorgegebene
Basen als Matrix darstellbar.
Haye Hinrichsen — Allgemeine Relativitätstheorie