Relativitätstheorie - Fakultät für Physik und Astronomie - Universität ...

170 Kosmologie
Dies setzen wir in (8.22) ein und erhalten nach Umformungen:
˙R 2 + k − ΛR2
3
8πG
= ρR2
3c2 (8.24)
Dies ist fast schon die Gleichung für das Friedmannmodell. Wir wollen sie noch dadurch vereinfachen,
dass wir mit den bisherigen Gleichungen zwei Erhaltungsgrößen finden können. Dazu
differenzieren wir (8.24) nach der Zeit und lösen nach ˙ρ auf:
2 ˙R ¨R − 2
3 ΛR ˙R = 8πG
3c 2 (2R ˙Rρ + R 2 ˙ρ) / +
0 = 3R ˙Rρ + R2 ˙ρ + 3
c2 PR ˙R
˙ρ = − 3 ˙R P
R (ρ + c2 )
�
− 2 ˙R
3
�
(8.20)
Für den Fall P = 0, ρ = ρM erhalten wir hieraus das Gesetz der Massenerhaltung und können
eine Konstante Km definieren:
ρMR(t) 3 = const. ⇒ KM = 8πG
3c 2 ρMR(t) 3 = const. (8.25)
Für den Fall P = ρc2
3 ,ρ = ρS hingegen erhalten wir eine Art ”Strahlungserhaltung”. Auch hier
können wir eine Konstante definieren:
ρSR(t) 4 = const. ⇒ KS = 8πG
3c 2 ρSR(t) 4 = const. (8.26)
Wir nehmen an, dass diese beiden Fälle separat gelten (oder ein Effekt deutlich dominiert) und
können sie somit gemeinesam diskutieren. Wir setzen im Folgenden daher ρ = ρM +ρS. Daraus
resultiert die Gleichung für das sogenannte Friedmannmodell 5 , wenn wir die beiden neuen
Konstanten in (8.24) einsetzen:
˙R 2 − KS KM Λ
− −
R2 R 3 R2 = −k (8.27)
Diese Differentialgleichung beschreibt im Wesentlichen die Entwicklung unseres Universums.
Man kann sich dies auch folgendermaßen veranschaulichen: Die hinteren drei Summanden auf
der linken Seite können wir zu einer Art ”Potenzial” V (R) = − KS
R2 − KM Λ
R − 3 R2 zusammenfassen,
das wir gegen R auftragen können. Dadurch erhalten wir einen ersten Eindruck, unter welchen
Bedingungen die Expansion unseres Universums beschränkt ist. Außerdem können wir aus
(8.27) ”Euler-Lagrange-Gleichungen” ableiten, die den Expansionsprozess beschreiben (vgl. 2-
Körper-Problem).
8.2.2 Friedmannsche Weltmodelle
Mit Hilfe dieser Gleichung und der vorangegangenen Abbildung des Potentials können wir nun
anfangen, die möglichen Entwicklungen des Kosmos zu klassifizieren. Doch zunächst betrachten
wir noch folgenden Grenzfall: Zur Frühzeit des Universum war R sehr klein und es herrschte
5 Manchmal ließt man hierfür auch die Bezeichnung Friedmann-Lemaître-Gleichung, benannt nach dem französischen
Priester Georges Lemaître, der die Gleichung unanhängig von Friedmann 1927 entdeckte.
Haye Hinrichsen — Allgemeine Relativitätstheorie