Relativitätstheorie - Fakultät für Physik und Astronomie - Universität ...
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168 Kosmologie Damit schreibt sich die FRW-Metrik wie folgt: ds 2 = c 2 dt 2 − R(t) 2� dχ 2 + f (χ) 2 (dθ 2 + sin 2 θ dφ) 2� (8.11) Auf Grund der angenommenen Isotropie der Raumzeit lassen sich Abstände in der FRW-Metrik leicht bestimmen. Wir können den Beobachter ins ”Zentrum” des Universums stellen und eine rein radiale Streckenlänge berechnen. Für eine lichtartige Kurve in der Raumzeit gilt ds 2 = 0. Hier erhalten wir ferner noch die besondere Beziehung (8.13), die später noch wichtig werden wird. Für eine Entfernung D in der FRW-Metrik gilt: 8.2 Die Friedmann-Gleichung 8.2.1 Herleitung � χ D = dχ 0 ′√ gχ ′ χ ′ = R(t)χ (8.12) 0 = ds 2 = c 2 dt 2 − R(t) 2 dχ 2 ⇔ dχ = cdt R(t) (8.13) Nun wollen wir eine Gleichung herleiten, mit deren Hilfe wir, unter den gemachten Annahmen, den Zustand des Universums beschreiben können 3 . Dazu verwenden wir die FRW-Metrik (8.1), berechnen aus ihr die Christoffel-Symbole sowie den Ricci-Tensor, und setzen dies in (??) ein. Wir erhalten zunächst folgende Christoffel-Symbole: Γ 0 11 Γ 1 11 Γ 1 01 = Γ1 10 = Γ2 02 = Γ2 20 = Γ3 03 = Γ3 30 = ˙R R = ˙RR 1−kr 2 Γ 0 22 = r2 ˙RR Γ 0 33 = r2 ˙RRsin 2 θ = kr 1−kr 2 Γ 1 22 = −r(1 − kr2 ) Γ 1 33 = −r(1 − kr2 )sin 2 θ Γ 2 12 = Γ2 21 = Γ3 13 = Γ3 31 1 = r Γ3 23 = Γ3 32 = cotθ Γ233 = −sinθ cosθ (8.14) (8.15) Alle weitere Christoffel-Symbole sind gleich Null. Außerdem ist zu beachten, dass hier sowie im Folgenden ˙R = dR/d(cdt) = dR/dx 0 gilt. Damit erhalten wir für den kontrahierten Ricci-Tensor nur auf der Diagonalen Einträge: R00 = 3 ¨R R R11 = 1 1−kr 2 (R ¨R + 2 ˙R 2 + 2k) R22 = −r 2 (R ¨R + 2 ˙R 2 + 2k) R33 = R22sin 2 θ (8.16) 3 Diese Gleichung ist nach dem russischen Mathematiker und Physiker Alexander Friedmann benannt, der sie 1922 entdeckte Haye Hinrichsen — Allgemeine Relativitätstheorie
8.2 Die Friedmann-Gleichung 169 Um die Feldgleichungen lösen zu können, brauchen wir noch den Energie-Impuls-Tensor. Nach dem kosmologischen Prinzip sind die Dichteverteilung sowie der Druck nicht ortsabhängig (Homogenität des Raumes): ρ(r,t) = ρ(t),P(r,t) = P(t). Außerdem vernachlässigen wir die Relativbewegungen der Galaxien zueinander, da sie sich im Mittel aufheben. Insgesamt verhält sich das Universum demnach wie ein perfektes Fluid, in dem keine Strömungen auftreten. Diese Aussage ist auch als Weylsches Postulat 4 bekannt und sichert uns, dass der metrische Tensor tatsächlich diagonal ist. Der Energie-Impuls-Tensor hat also die Form � Tµν = ρ + P c2 � uµuν − gµνP (8.17) wobei wir mit g00 = 1 erhalten: uµ = u µ = (c,0,0,0) Damit folgt: � Tµν = diag ρc 2 , PR2 1 − kr2 ,PR2r 2 ,PR 2 r 2 sin 2 � θ (8.18) Für die Spur des Energie-Impuls-Tensors erhalten wir: T = ρc 2 − 3P Somit ergeben sich aus Tµν und Rµν 4 Differentialgleichungen. Zunächst für die 00-Komponente: 3 ¨R R − Λ = −8πG c4 � ρc 2 − ρc2 � − 3P 2 (8.19) ⇒ 3 ¨R − ΛR = − 4πG c4 � � 2 ρc + 3P R (8.20) Für die drei räumlichen Komponenten ergibt sich jedes Mal die selbe Gleichung. Hier die Rechnung für die erste Komponente: − 1 1 − kr2 � R ¨R + 2 ˙R 2 + 2k � � − Λ − R2 1 − kr2 � = − 8πG c4 � PR2 1 − kr2 − ρc2 − 3P 2 ⇒ R ¨R + 2 ˙R 2 + 2k − ΛR 2 = 4πG c4 � � 2 2 ρc + 3P R R 2 1 − kr 2 � (8.21) (8.22) Nun haben wir zwei Differentialgleichungen erhalten, die in sehr allgemeiner Form die Entwicklung des Universums beschreiben. Um dies in eine intuitivere Form zu bringen, brauchen wir Informationen, wie sich der Druck P in Abhängigkeit von der Dichte ρ verhält. Für unser Universum kommen zwei Formen in Betracht: nicht interagierende Materie z.B. Staub P = 0 Hochrelativistische Teilchen z.B. EM-Strahlung P = ρ 3 Für unser heutiges Universum ist die Dominanz von Materie im Vergleich zur Strahlung sicherlich eine gute Näherung. Setzen wir dies in (8.20) ein und lösen nach ¨R auf, so erhalten wir: � ¨R Λ 4πGρ = − 3 3c2 � R (8.23) 4 benannt nach H.Weyl, vgl. +[13] (Kapitel 22.5): ¨Die Partikel des Substrats liegen in der Raumzeit auf einer Kongruenz zeitartiger Geodäten, die von einem Punkt in der endlichen oder unendlichen Vergangenheit ausgehen.¨ Haye Hinrichsen — Allgemeine Relativitätstheorie
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8.2 Die Friedmann-Gleichung 169<br />
Um die Feldgleichungen lösen zu können, brauchen wir noch den Energie-Impuls-Tensor. Nach<br />
dem kosmologischen Prinzip sind die Dichteverteilung sowie der Druck nicht ortsabhängig (Homogenität<br />
des Raumes): ρ(r,t) = ρ(t),P(r,t) = P(t). Außerdem vernachlässigen wir die Relativbewegungen<br />
der Galaxien zueinander, da sie sich im Mittel aufheben. Insgesamt verhält sich<br />
das Universum demnach wie ein perfektes Fluid, in dem keine Strömungen auftreten. Diese<br />
Aussage ist auch als Weylsches Postulat 4 bekannt <strong>und</strong> sichert uns, dass der metrische Tensor<br />
tatsächlich diagonal ist.<br />
Der Energie-Impuls-Tensor hat also die Form<br />
�<br />
Tµν = ρ + P<br />
c2 �<br />
uµuν − gµνP (8.17)<br />
wobei wir mit g00 = 1 erhalten: uµ = u µ = (c,0,0,0) Damit folgt:<br />
�<br />
Tµν = diag ρc 2 , PR2<br />
1 − kr2 ,PR2r 2 ,PR 2 r 2 sin 2 �<br />
θ<br />
(8.18)<br />
Für die Spur des Energie-Impuls-Tensors erhalten wir: T = ρc 2 − 3P<br />
Somit ergeben sich aus Tµν <strong>und</strong> Rµν 4 Differentialgleichungen. Zunächst <strong>für</strong> die 00-Komponente:<br />
3 ¨R<br />
R<br />
− Λ = −8πG<br />
c4 �<br />
ρc 2 − ρc2 �<br />
− 3P<br />
2<br />
(8.19)<br />
⇒ 3 ¨R − ΛR = − 4πG<br />
c4 � � 2<br />
ρc + 3P R (8.20)<br />
Für die drei räumlichen Komponenten ergibt sich jedes Mal die selbe Gleichung. Hier die Rechnung<br />
<strong>für</strong> die erste Komponente:<br />
− 1<br />
1 − kr2 �<br />
R ¨R + 2 ˙R 2 + 2k � �<br />
− Λ − R2<br />
1 − kr2 �<br />
= − 8πG<br />
c4 �<br />
PR2 1 − kr2 − ρc2 − 3P<br />
2<br />
⇒ R ¨R + 2 ˙R 2 + 2k − ΛR 2 = 4πG<br />
c4 � � 2 2<br />
ρc + 3P R<br />
R 2<br />
1 − kr 2<br />
�<br />
(8.21)<br />
(8.22)<br />
Nun haben wir zwei Differentialgleichungen erhalten, die in sehr allgemeiner Form die Entwicklung<br />
des Universums beschreiben. Um dies in eine intuitivere Form zu bringen, brauchen<br />
wir Informationen, wie sich der Druck P in Abhängigkeit von der Dichte ρ verhält. Für unser<br />
Universum kommen zwei Formen in Betracht:<br />
nicht interagierende Materie z.B. Staub P = 0<br />
Hochrelativistische Teilchen z.B. EM-Strahlung P = ρ<br />
3<br />
Für unser heutiges Universum ist die Dominanz von Materie im Vergleich zur Strahlung sicherlich<br />
eine gute Näherung. Setzen wir dies in (8.20) ein <strong>und</strong> lösen nach ¨R auf, so erhalten wir:<br />
�<br />
¨R<br />
Λ 4πGρ<br />
= −<br />
3 3c2 �<br />
R (8.23)<br />
4 benannt nach H.Weyl, vgl. +[13] (Kapitel 22.5): ¨Die Partikel des Substrats liegen in der Raumzeit auf einer Kongruenz<br />
zeitartiger Geodäten, die von einem Punkt in der endlichen oder unendlichen Vergangenheit ausgehen.¨<br />
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