Relativitätstheorie - Fakultät für Physik und Astronomie - Universität ...

168 Kosmologie
Damit schreibt sich die FRW-Metrik wie folgt:
ds 2 = c 2 dt 2 − R(t) 2�
dχ 2 + f (χ) 2 (dθ 2 + sin 2 θ dφ) 2�
(8.11)
Auf Grund der angenommenen Isotropie der Raumzeit lassen sich Abstände in der FRW-Metrik
leicht bestimmen. Wir können den Beobachter ins ”Zentrum” des Universums stellen und eine
rein radiale Streckenlänge berechnen. Für eine lichtartige Kurve in der Raumzeit gilt ds 2 = 0.
Hier erhalten wir ferner noch die besondere Beziehung (8.13), die später noch wichtig werden
wird. Für eine Entfernung D in der FRW-Metrik gilt:
8.2 Die Friedmann-Gleichung
8.2.1 Herleitung
� χ
D = dχ
0
′√
gχ ′ χ ′ = R(t)χ (8.12)
0 = ds 2 = c 2 dt 2 − R(t) 2 dχ 2 ⇔ dχ = cdt
R(t)
(8.13)
Nun wollen wir eine Gleichung herleiten, mit deren Hilfe wir, unter den gemachten Annahmen,
den Zustand des Universums beschreiben können 3 . Dazu verwenden wir die FRW-Metrik (8.1),
berechnen aus ihr die Christoffel-Symbole sowie den Ricci-Tensor, und setzen dies in (??) ein.
Wir erhalten zunächst folgende Christoffel-Symbole:
Γ 0 11
Γ 1 11
Γ 1 01 = Γ1 10 = Γ2 02 = Γ2 20 = Γ3 03 = Γ3 30
= ˙R
R
= ˙RR
1−kr 2 Γ 0 22 = r2 ˙RR Γ 0 33 = r2 ˙RRsin 2 θ
= kr
1−kr 2 Γ 1 22 = −r(1 − kr2 ) Γ 1 33 = −r(1 − kr2 )sin 2 θ
Γ 2 12 = Γ2 21 = Γ3 13 = Γ3 31
1 = r Γ3 23 = Γ3 32 = cotθ Γ233 = −sinθ cosθ
(8.14)
(8.15)
Alle weitere Christoffel-Symbole sind gleich Null. Außerdem ist zu beachten, dass hier sowie im
Folgenden ˙R = dR/d(cdt) = dR/dx 0 gilt. Damit erhalten wir für den kontrahierten Ricci-Tensor
nur auf der Diagonalen Einträge:
R00 = 3 ¨R
R
R11 = 1
1−kr 2 (R ¨R + 2 ˙R 2 + 2k)
R22 = −r 2 (R ¨R + 2 ˙R 2 + 2k)
R33 = R22sin 2 θ
(8.16)
3 Diese Gleichung ist nach dem russischen Mathematiker und Physiker Alexander Friedmann benannt, der sie 1922
entdeckte
Haye Hinrichsen — Allgemeine Relativitätstheorie