Relativitätstheorie - Fakultät für Physik und Astronomie - Universität ...

8.1 Die Friedmann-Robertson-Walker-Metrik 167
Abbildung 8.1: Verschwindende, positive und negative Krümmung am Beispiel zweidimensionaler Oberflächen
Verschiebung xi → xi + dxi erhält man in niedrigster Ordnung x4 dx4 = x1 dx1 + x2 dx2 + x3 dx3.
Durch Auflösen nach dx4, Quadrieren und Einsetzen von (8.2) erhalten wir
(dx4) 2 = (x1 dx1 + x2 dx2 + x3 dx3) 2
x 2 1 + x2 2 + x2 3 − κR(t)2 . (8.3)
Damit ist das Linienelement dl 2 im Einbettungsraum gegeben durch
Mit Kugelkoordinaten
dl 2 = (dx1) 2 + (dx2) 2 + (dx3) 2 − (x1 dx1 + x2 dx2 + x3 dx3) 2
x2 1 + x2 2 + x2 (8.4)
3 − κR(t)2
= (dx1) 2 + (dx2) 2 + (dx3) 2 + (x1 dx1 + x2 dx2 + x3 dx3) 2
κR(t) 2 − x 2 1 − x2 2 − x2 3
(8.5)
x1 = rR(t)sinθ cosφ, x2 = rR(t)sinθ cosφ, x3 = rR(t)cosθ (8.6)
geht dieser Ausdruck über in
dl 2 = R(t) 2�
dr 2 + r 2 dθ 2 + r 2 dφ 2 sin 2 �
θ + R(t)2r 2 dr2 κ − r2 . (8.7)
Für das relativistische Linienelement ergibt sich damit
ds 2 = c 2 dt 2 − dl 2 = c 2 dt 2 − R(t) 2
�
dr2 1 − kr2 + r2 dθ 2 + r 2 sin 2 θ dφ 2
�
, (8.8)
wobei k = 1/κ ist. Der radiale Parameter r läuft wieder von 0 bis 1 und der Parameter k = ±1 bestimmt
die Form der Raumzeit. Für k > 0 ergibt sich eine geschlossene Raumzeit (ähnlich einer
Kugeloberfläche), für k < 0 eine offene Raumzeit (ähnlich einer Sattelfläche) und für k → 0 ist
die Raumzeit flach. Die Folge dessen lässt sich an der Oberfläche einer Kugel veranschaulichen:
Für k > 0 gilt A(r) < 4πr 2 , bzw. A(r) > 4πr 2 für k < 0.
8.1.3 Entfernungen in der FRW-Metrik
Um mit der FRW-Metrik besser rechnen zu können, substituieren wir
r ↦→ χ(r) =
Damit erhalten wir, abhängig von k, folgende Darstellung für r:
⎧
⎪⎨ sinχ falls k = 1
r = f (χ) = χ
⎪⎩
sinhχ
falls k = 0
falls k = −1
� r
Haye Hinrichsen — Allgemeine Relativitätstheorie
0
dr ′
√ . (8.9)
1 − kr ′2
(8.10)