Relativitätstheorie - Fakultät für Physik und Astronomie - Universität ...

166 Kosmologie
Bemerkung: Die in der obigen Abbildung gezeigten filigranen Strukturen der Verteilung der Gala-
xien werden gegenwärtig mit Hilfe der sogenannten Inflationstheorie erklärt. Dieser Theorie zufolge
hat sich das Universum kurz nach dem Urknall wegen eines Phasenübergangs schlagartig über viele
Größenordnungen ausgedehnt. Die kurz nach dem Urknall präsenten Quantenfluktuationen wurden
auf diese Weise kausal getrennt und auf einer Skala eingefroren, die heute etwa 100 Mpc entspricht.
Damit ergaben sich Regionen mit minimal unterschiedlicher Dichte, die als Anisotropie im Mikro-
wellenhintergrund nachweisbar sind. Diese eingefrorenen Dichtefluktuationen sind mit der heutigen
Dichteverteilung der Galaxien korreliert.
Die Metrik, die ein homogenes, rotationssymmetrisches Weltall beschreibt, wurde bereits im
Zusammenhang mit dem Gravitationskollaps diskutiert (siehe Abschnitt 7.3.4 auf S. 157). Hier
gingen wir ebenfalls von Rotationsinvarianz des Problems und einer homogenen Massenverteilung
(d.h. konstanten Krümmung der Raumzeit) aus. Wenden wir diese Metrik nun nicht auf das
Innere eines Sterns, sondern auf das gesamte Universum an, so nennen wir sie die Friedmann-
Robertson-Walker (FRW)-Metrik1 :
ds 2 = c 2 dt 2 �
dr2 − R(t)
1 − kr2 + r2 � dθ 2 + sin 2 θdφ 2��
. (8.1)
In dieser Darstellung hat der so genannte Skalenparameter R(t) die Dimension einer Länge und
beschreibt die momentane Ausdehnung des Universums, während k = 0,±1 und r ∈ [0,1] ist.
8.1.2 Herleitung der FRW-Metrik
Obwohl die FRW-Metrik bereits in Abschnitt 7.3.4 hergeleitet wurde, wollen wir hier eine alternative
Herleitung vorstellen, die das Modell eines isotropen, gleichmäßig gekrümmten Raumes
auf andere Weise veranschaulicht. Dazu betten wir für gegebenes t den durch die Koordinaten
x1,x2,x3 beschriebenen räumlichen Anteil der Raumzeit in einen höherdimensionalen ebenen
Raum ein. Bei positiver konstanter Krümmung hat dieser Anteil die Form der Oberfläche einer
vierdimensionalen Kugel und kann deshalb problemlos in einen R 4 eingebettet werden. Bei
negativer Krümmung ist dies nach einem Resultat von David Hilbert nicht möglich, doch kann
man einen Raum mit konstanter negativer Krümmung in einen pseudoeuklidischen Raum ebenen
Raum, den R 3 1 , einbetten, wobei wir die zusätzliche Koordinate als x4 bezeichnen wollen 2 .
Zur Erinnerung: Der pseudoeuklidische Raum Rn k ist ein (n+k)-dimensionaler Raum mit dem Skalarprodukt:
n n+k
〈x,y〉 = ∑ xiyi − ∑ xiyi ,
i=1 i=n+1
d.h. er besitzt eine diagonale Metrik, wobei die Signatur der ersten n Dimensionen positiv und die der
folgenden k Dimensionen negativ ist.
In diesem Einbettungsraum definieren wir nun eine Hyperfläche durch
x 2 4 = x 2 1 + x 2 2 + x 2 3 − κR(t) 2 . (8.2)
Dabei ist R(t) die aktuelle Ausdehnung (Skalenparameter) des Universums und κ = ±1 ist ein
Parameter, der das Vorzeichen der Krümmung der Hyperfläche angibt. Bei einer infinitesimalen
1 benannt nach Howard Percy Robertson, US-amerikanischer Mathematiker und Physiker, und Arthur Geoffrey
Walker, britischer Mathematiker
2 nach [19], Kap. 7a, Bsp. Nr 7.3.
Haye Hinrichsen — Allgemeine Relativitätstheorie