Relativitätstheorie - Fakultät für Physik und Astronomie - Universität ...

1.3 Lineare Abbildungen 9
1.2.4 Affine Räume
Ein affiner Raum ist eine Menge von Punkten, die durch Vektoren verbunden sind.
Genauer: Ein affiner Raum A über einem Vektorraum V ist ausgestattet mit einer Abbildung A×A →
V : p,q → −→ pq so dass gilt:
- Die Abstände sind additiv, d.h. für alle p,q,r ∈ A gilt: −→ pq + −→ qr = −→ pr.
- Unbegrenztheit, d.h. für alle p ∈ A und v ∈ V gibt es ein q ∈ A so dass v = −→ pq.
Ein affiner Raum hat also im wesentlichen die gleiche Struktur wie der darunter liegende Vektorraum,
besitzt aber im Gegensatz zu diesem kein ausgezeichnetes Element, d.h. keinen Ursprung
oder Nullpunkt (siehe Abb. 1.1c). Der Übergang vom Vektorraum zum dazugehörigen
affinen Raum wird oft so beschrieben, als würde man “den Ursprung (Nullpunkt) vergessen.”
Physikalische Räume wie der Ortsraum der Newtonschen Mechanik sind affin, da sie keinen
ausgezeichneten Ursprung besitzen.
1.3 Lineare Abbildungen
Im Abschnitt 1.1.5 haben wir den Begriff des Homomorphismus als strukturverträgliche Abbildung
kennen gelernt und am Beispiel von Gruppenhomomorphismen diskutiert. Analog dazu
sind Vektorraumhomomorphismen Abbildungen, die mit einer Vektorraumstruktur, also der
Addition von Vektoren und der Multiplikation mit Skalaren, verträglich sind. Man kann leicht
zeigen, dass die Vektorraumhomomorphismen lineare Abbildungen sind, die wir im folgenden
einführen wollen.
1.3.1 Definition und Eigenschaften
Seien V,W zwei Vektorräume. Eine Abbildung A : V → W heißt linear, wenn für alle u,v ∈ V
und λ,µ ∈ K gilt
A(λu + µv) = λA(u) + µA(v). (1.4)
In komplexen Vektorräumen gibt es darüber hinaus eine weitere Klasse von Vektorraumhomomorphismen,
nämlich die antilinearen Abbildungen, auch konjugiert-linear oder semilinear genannt.
Antilineare Abbildungen haben die Eigenschaft, dass Skalare konjugiert komplex durchgeschleift
werden, d.h.
A(λu + µv) = λ ∗ A(u) + µ ∗ A(v), (1.5)
wobei der Stern für Komplexkonjugation steht. Während antilineare Abbildungen in der Quantentheorie
häufig anzutreffen sind, spielen sie in der Relativitätstheorie eine eher untergeordnete
Rolle.
Ähnlich wie bei Gruppenhomomorphismen besitzen Vektorraumhomomorphismen einen Kern
(Vektoren, die auf Null abgebildet werden) und ein Bild (Bildvektoren, die von der Abbildung
erreicht werden):
ker(A) = {v ∈ V |A(v) = 0} ⊆ V (1.6)
img(A) = {A(v)|v ∈ V } ⊆ W (1.7)
Haye Hinrichsen — Allgemeine Relativitätstheorie