Relativitätstheorie - Fakultät für Physik und Astronomie - Universität ...

160 Sternmodelle
ist. Die Metrik im Innern der kollabierenden Staubwolke lautet also
ds 2 = −c 2 dt 2 + R(t) 2� dr2 1 − kr2 + r2 (dθ 2 + sin 2 θ dφ 2 �
) . (7.82)
Mit der Divergenzfreiheit des Energie-Impuls-Tensors kann man zeigen, dass 1 √ g ∂0( √ gT 00 ) = 0
ist, woraus die Massenerhaltung
ρ(t)R(t) 3 = ρ(0) (7.83)
folgt Dieses Ergebnis setzt man in die Feldgleichung für R00 ein und erhält
Daraus folgt
¨RR = − 4πG
3c 2
d ˙R
d(ct) = 2 ¨R ˙R = − 8πGρ(0)
3c2 ˙R
R2 ρ(0)
. (7.84)
R
(7.85)
mit der Lösung
˙R 2 = const + 8πG
3c2 ρ(0)
(7.86)
R
wobei man durch Einsetzen in die Feldgleichung für R11 zeigen kann, dass const = −k ist. Mit
den Anfangsbedingungen R(0) = 1 und ˙R(0) = 0 ergibt sich k = 8πGρ(0)/3c2 , womit sich die
DGL zu
˙R 2 1 − R
= k
R
wird. Diese DGL beschreibt eine parametrisierte Zykloide
(7.87)
ct = 1
2 √ 1
(λ + sinλ), R = (1 + cosλ) (7.88)
k 2
Wenn der Kurvenparameter den Wert λ = π annimmt, kollabiert die Staubwolke in einen einzigen
Punkt. Die Zeit, die dazu benötigt wird, ist
�
�
T = t�
=
λ=π π
2c √ �
π 3
= . (7.89)
k 2 8πGρ(0)
Erstaunlicherweise hängt diese Zeit nicht von der absoluten Größe des Objekts, sondern nur
von seiner Dichte ab. Auf den zweiten Blick ist das aber plausibel, da die auf ein Staubteilchen
wirkende Gravitationskraft nur von den Bestandteilen der Wolke innerhalb der Kugel mit dem
Radius, das seiner Entfernung entspricht, hervorgerufen wird. Bei einer irdischen Dichte von
1g/cm 3 ist die Zeit übrigens sehr kurz: Nur etwa 35 Minuten würde dann ein Gravitationskollaps
dauern.
7.3.5 Supernovae
Im ersten Jahr der Regentschaft von Chih-ho [1054], zum fünften Mond, am Tag
chi-ch’ou [4. Juli], erschien ein Gaststern südöstlich in der Nähe von T’ien-kuan
[ζ Tauri]. Nach etwa einem Jahr wurde er allmählich unsichtbar. 4
4 Geschichte der Sung-Dynastie, China, zitiert nach J. J. L. Duyvendak
Haye Hinrichsen — Allgemeine Relativitätstheorie