Relativitätstheorie - Fakultät für Physik und Astronomie - Universität ...

7.3 Dynamische Lösungen der Feldgleichungen 159
Anwendungfälle sind:
- Sternkollaps bei r > 9
8 rs
- Bildung eines neuen Sterns aus einer Staubwole
- Kollaps einer Galaxie (mit Sternen als Staubteilchen)
- Kollaps des Universums (mit Galaxien als Staubteilchen)
Mit p = 0 und u µ = (c,0,0,0) hat der Energie-Impulstensor die Gestalt
T µν = (ρ + p)u µ u ν + pg µν =
Damit erhält man die Feldgleichungen
Rµν = Tµν + 1
2 gµνT = ρ(t)c2
⎛
1
⎜
2 ⎝
⎛
⎜
⎝
ρ(t)c 2
U(r,t)
0
V (r,t)
0
0
⎞
⎟
⎠
V (r,t)sin 2 θ
⎞
⎟
⎠
(7.73)
(7.74)
Die dabei auftretenden Gleichungen enthalten Summen von Orts- und Zeitableitungen. Dies legt
einen Separationsansatz nahe:
Aus der Feldgleichung für R01 = R10 folgt
U(r,t) = R(t) 2 f (r), V (r,t) = S(t) 2 g(r) (7.75)
˙S
S
˙R
= , (7.76)
R
so dass sich S und R nur durch eine Konstante unterscheiden können, die wir in f ,g absorbieren
können, so dass S = R ist. Die verbleibenden Feldgleichungen für R11 und R22 bzw. R33 lauten
− 1 1
+
r2 r2 f
f ′
−
r f 2 =
¨RR
+ 2 ˙R 2 − 4πG
c
f ′
−
2r f 2 =
¨RR
+ 2 ˙R 2 − 4πG
c
2 ρ(t)R2
2 ρ(t)R2
(7.77)
(7.78)
Da die linken Seinten nur von r und die rechten nur von t abhängen, müssen die Seiten konstant
sein, d.h.
so dass
− 1 1
+
r2 r2 f
f ′
−
r f 2 = −2k (7.79)
f ′
−
2r f 2 = −2k , (7.80)
f (r) =
1
1 − kr 2
Haye Hinrichsen — Allgemeine Relativitätstheorie
(7.81)