Relativitätstheorie - Fakultät für Physik und Astronomie - Universität ...

158 Sternmodelle
Man kann zeigen, dass im isotropen Fall eine solche Metrik in der Form
ds 2 = −c 2 dt 2 +U(r,t)dr 2 +V (r,t)(dθ 2 + sin 2 θ dφ 2 ) (7.66)
geschrieben werden kann. Mit diesem Ansatz berechnet man die Christoffelsymbole
Γ 1 01 = Γ 1 10 = ˙U
2U
Γ 0 11 = ˙U
2
Γ 2 02 = Γ 2 20 = Γ 3 03 = Γ 3 30 = ˙V
2V
Γ 0 22 = ˙V
2
Γ 0 33 = ˙V
2 sin2 θ
U ′
Γ 1 11 =
2U
V ′
Γ 1 22 = −
2U
V ′
Γ 1 33 = −
2U sin2 θ
Γ 2 12 = Γ 2 21 = Γ 3 13 = Γ 3 V ′
31 =
2V
Γ 2 33 = −sinθ cosθ
Γ 3 23 = Γ 3 32 = cotθ
(7.67)
wobei Punkt und Strich für die jeweiligen partiellen Ableitungen bezeichnen und alle nicht aufgeführten
Christoffelsymbole verschwinden. Wir überprüfen zunächst anhand der Feldgleichung
ob eine konstante Vierergeschwindigkeit u µ = (c,0,0,0) mit diesem Ansatz konsistent ist. Man
stellt fest, dass Γ µ
duµ
00 = 0 für alle µ verschwindet, so dass die Bahngleichung dτ = −Γµ νρuν uρ in der Tat erfüllt ist.
Mit den obigen Christoffelsymbolen kann man die nichtverschwindenden Komponenten des
Ricci-Tensors ausrechnen:
R00 = Ü ¨V
+
2U V
˙U 2 ˙V 2
− −
4U 2 2V 2
R11 = − Ü ˙U 2
+
2 4U − ˙U ˙V V ′′ V ′2
+ −
2V V 2V 2 − U ′ V ′
2UV
R22 = −1 − ¨V
2 − ˙U ˙V
4U
R01 = R10 =
Radialsymmetrischer Kollaps
˙V ′
V
˙VV ′ ˙UV ′
− −
2V 2 2UV
V ′′
+
2U − V ′ U ′
4U 2
(7.68)
(7.69)
(7.70)
(7.71)
R33 = R22 sin 2 θ (7.72)
Wir wollen nun voraussetzen, dass die kollabierende Materie aus Staub besteht, also keinen
Innendruck besitzt, und dass ihre Dichte räumlich konstant ist, d.h. ρ(r,t) = ρ(t). Mögliche
Haye Hinrichsen — Allgemeine Relativitätstheorie