Relativitätstheorie - Fakultät für Physik und Astronomie - Universität ...
Relativitätstheorie - Fakultät für Physik und Astronomie - Universität ...
Relativitätstheorie - Fakultät für Physik und Astronomie - Universität ...
Erfolgreiche ePaper selbst erstellen
Machen Sie aus Ihren PDF Publikationen ein blätterbares Flipbook mit unserer einzigartigen Google optimierten e-Paper Software.
7.3 Dynamische Lösungen der Feldgleichungen 157<br />
• Flugdauer vom unendliche entfernten Beobachter aus gesehen:<br />
� � ts r0<br />
∆t = dt =<br />
t0 rs<br />
dt<br />
dτ<br />
� r0 dτ<br />
dr =<br />
dr rs<br />
� 2GM<br />
r<br />
1 1<br />
�<br />
+ Q 1 − rs<br />
� dr = ∞ (7.61)<br />
r<br />
da das Integral eine Polstelle an der oberen Grenze besitzt. Faktisch wird das Teilchen<br />
aber wegen der ebenfalls divergierenden Rotverschiebung schon nach kurzer Zeit unbeobachtbar.<br />
• Flugdauer aus der Sicht des Teichens:<br />
Dazu ist die Eigenzeit τ des Teilchens zu integrieren:<br />
� � τs r0<br />
∆τ1 = dt =<br />
τ0 rs<br />
� r0 dτ<br />
dr =<br />
dr rs<br />
1<br />
� 2GM<br />
r<br />
• Bis zum Schwarzschildradius zurückgelegte Wegstrecke:<br />
Hier erhält man ebenfalls ein endliches Integral<br />
� r0<br />
∆s =<br />
rs<br />
dr<br />
1 − rs<br />
r<br />
= 1<br />
�<br />
rs log<br />
2<br />
� rs<br />
r0<br />
dr < ∞ (7.62)<br />
+ Q<br />
� � ��<br />
�r0(r0 − 2 − rs) + rs log 1 − rs<br />
���<br />
+ 1<br />
r0<br />
(7.63)<br />
• Dauer des Weiterflugs bis zum Zentrum aus der Sicht des Teichens:<br />
� rs<br />
∆τ2 =<br />
0<br />
� 2GM<br />
r<br />
1<br />
< ∞ (7.64)<br />
+ Q<br />
Diese Beispiele zeigen, dass der Schwarzschildradius zwar insofern physikalisch ausgezeichnet<br />
ist, als dass ein unendlich entfernter Beobachter keine Information aus Bereichen innerhalb des<br />
Schwarzschildradius erhalten kann. Wenn jedoch ein Teilchen den Schwarzschildradius durchquert,<br />
wird es keine singuläre Raumstruktur feststellen. Damit ist die Singularität der Schwarzschildmetrik<br />
eine Koordinatensingularität, die durch die Wahl des Bezugssystem im Unendlichen<br />
entsteht.<br />
7.3.4 Gravitationskollaps<br />
Gaußsche Normalkoordinaten<br />
Um den Kollaps eines Sterns, also den freien Fall einer radialsymmetrischen Masseverteilung,<br />
zu untersuchen, benötigen wir eine andere Karte, die nicht am Schwarzschildradius divergiert.<br />
Wir wollen ein Koordinatensystem wählen, dass sich mit der kollabierenden Materie mitbewegt.<br />
Solche Koordinaten heißen Gaußsche Normalkoordinaten <strong>und</strong> sind definiert durch<br />
x 0 = cτ , x 1 ,x 2 ,x 3 = const (7.65)<br />
In einem solchen Koordinatensystem hätten die kollabierenden Teichen die Vierergeschwindigkeit<br />
u µ = (c,0,0,0), d.h. obwohl sie kollabieren, scheinen sie auf der Karte zu ruhen.<br />
Haye Hinrichsen — Allgemeine <strong>Relativitätstheorie</strong>
Change language