Relativitätstheorie - Fakultät für Physik und Astronomie - Universität ...
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156 Sternmodelle geführt wird. Erwartungsgemäß ist dabei der Druck 2 1 − X P(0) = ρ0c 3X − 1 (7.51) im Zentrum des Himmelskörpers am größten. Erstaunlicherweise wird der Ausdruck jedoch divergent für X = 1/3, also für rs/R = 1 − 1/9 = 8/9. Da es jedoch keinen physikalischen Mechanismus gibt, der einem unendlichen Druck standhalten könnte, kommt man zu dem Ergebnis, dass für R < 9 8 rs (7.52) jeder Stern kollabieren muss! Der Vorfaktor 9 8 kommt hier durch die Annahme der Inkompressibilität zustande, doch bleibt die obige Ungleichung auch für realistische Sterne qualitativ richtig. Für die Astrophysik ergibt sich außerdem die Schlussfolgerung, dass die beobachtbare Gravitationsrotverschiebung z auf Werte von z = λr − 1 = λe 1 � − 1 < 2 (7.53) rs 1 − R begrenzt ist. Objekte mit einer größeren Rotverschiebung wären nicht stabil. 7.3.3 Flug durch den Schwarzschildradius Bevor wir uns mit dem Gravitationskollaps befassen, wollen wir noch einmal die äußeren Schwarzschildmetrik ds 2 � = − 1 − rs � dt r 2 � + 1 − rs �−1 dr r 2 + r 2 (dθ 2 + sin 2 θ dφ 2 ) (7.54) befassen. Man kann zeigen (Übung), dass die Bewegungsgleichungen für ein frei fallendes Teilchen ¨x α + Γ α µν ˙x µ ˙x ν = 0 (7.55) durch � dr �2 rsc2 − dτ r dt � dτ 1 − rs � r r = 1 (7.56) 2� dφ �2 dτ = L (7.57) rsL2 − 2 r3 = Q (7.58) + L2 r gegeben ist, wobei Q,L Konstanten der Bewegung sind und oBdA vorausgesetzt wird, dass die Bewegung in der Äquatorialebene θ = π/2 der Schwarzschildmetrik stattfindet. Wir identifizieren L als den Drehimpuls, der in dem hier untersuchten Fall verschwindet. Ferner ist rs = 2GM c2 , so dass die Bewegungsgleichungen die einfache Form dt dτ = 1 1 − rs 1 = r 1 − 2GM rc2 (7.59) � dr �2 = dτ 2GM + Q (7.60) r annehmen. Wie lange dauert es, bis ein Teilchen von r0 bis rs fliegt und welchen Weg legt es dabei zurück? Haye Hinrichsen — Allgemeine Relativitätstheorie
7.3 Dynamische Lösungen der Feldgleichungen 157 • Flugdauer vom unendliche entfernten Beobachter aus gesehen: � � ts r0 ∆t = dt = t0 rs dt dτ � r0 dτ dr = dr rs � 2GM r 1 1 � + Q 1 − rs � dr = ∞ (7.61) r da das Integral eine Polstelle an der oberen Grenze besitzt. Faktisch wird das Teilchen aber wegen der ebenfalls divergierenden Rotverschiebung schon nach kurzer Zeit unbeobachtbar. • Flugdauer aus der Sicht des Teichens: Dazu ist die Eigenzeit τ des Teilchens zu integrieren: � � τs r0 ∆τ1 = dt = τ0 rs � r0 dτ dr = dr rs 1 � 2GM r • Bis zum Schwarzschildradius zurückgelegte Wegstrecke: Hier erhält man ebenfalls ein endliches Integral � r0 ∆s = rs dr 1 − rs r = 1 � rs log 2 � rs r0 dr < ∞ (7.62) + Q � � �� �r0(r0 − 2 − rs) + rs log 1 − rs ��� + 1 r0 (7.63) • Dauer des Weiterflugs bis zum Zentrum aus der Sicht des Teichens: � rs ∆τ2 = 0 � 2GM r 1 < ∞ (7.64) + Q Diese Beispiele zeigen, dass der Schwarzschildradius zwar insofern physikalisch ausgezeichnet ist, als dass ein unendlich entfernter Beobachter keine Information aus Bereichen innerhalb des Schwarzschildradius erhalten kann. Wenn jedoch ein Teilchen den Schwarzschildradius durchquert, wird es keine singuläre Raumstruktur feststellen. Damit ist die Singularität der Schwarzschildmetrik eine Koordinatensingularität, die durch die Wahl des Bezugssystem im Unendlichen entsteht. 7.3.4 Gravitationskollaps Gaußsche Normalkoordinaten Um den Kollaps eines Sterns, also den freien Fall einer radialsymmetrischen Masseverteilung, zu untersuchen, benötigen wir eine andere Karte, die nicht am Schwarzschildradius divergiert. Wir wollen ein Koordinatensystem wählen, dass sich mit der kollabierenden Materie mitbewegt. Solche Koordinaten heißen Gaußsche Normalkoordinaten und sind definiert durch x 0 = cτ , x 1 ,x 2 ,x 3 = const (7.65) In einem solchen Koordinatensystem hätten die kollabierenden Teichen die Vierergeschwindigkeit u µ = (c,0,0,0), d.h. obwohl sie kollabieren, scheinen sie auf der Karte zu ruhen. Haye Hinrichsen — Allgemeine Relativitätstheorie
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156 Sternmodelle<br />
geführt wird. Erwartungsgemäß ist dabei der Druck<br />
2 1 − X<br />
P(0) = ρ0c<br />
3X − 1<br />
(7.51)<br />
im Zentrum des Himmelskörpers am größten. Erstaunlicherweise wird der Ausdruck jedoch<br />
divergent <strong>für</strong> X = 1/3, also <strong>für</strong> rs/R = 1 − 1/9 = 8/9. Da es jedoch keinen physikalischen Mechanismus<br />
gibt, der einem unendlichen Druck standhalten könnte, kommt man zu dem Ergebnis,<br />
dass <strong>für</strong><br />
R < 9<br />
8 rs<br />
(7.52)<br />
jeder Stern kollabieren muss! Der Vorfaktor 9<br />
8 kommt hier durch die Annahme der Inkompressibilität<br />
zustande, doch bleibt die obige Ungleichung auch <strong>für</strong> realistische Sterne qualitativ richtig.<br />
Für die Astrophysik ergibt sich außerdem die Schlussfolgerung, dass die beobachtbare Gravitationsrotverschiebung<br />
z auf Werte von<br />
z = λr<br />
− 1 =<br />
λe<br />
1<br />
� − 1 < 2 (7.53)<br />
rs 1 − R<br />
begrenzt ist. Objekte mit einer größeren Rotverschiebung wären nicht stabil.<br />
7.3.3 Flug durch den Schwarzschildradius<br />
Bevor wir uns mit dem Gravitationskollaps befassen, wollen wir noch einmal die äußeren Schwarzschildmetrik<br />
ds 2 �<br />
= − 1 − rs<br />
�<br />
dt<br />
r<br />
2 �<br />
+ 1 − rs<br />
�−1 dr<br />
r<br />
2 + r 2 (dθ 2 + sin 2 θ dφ 2 ) (7.54)<br />
befassen. Man kann zeigen (Übung), dass die Bewegungsgleichungen <strong>für</strong> ein frei fallendes Teilchen<br />
¨x α + Γ α µν ˙x µ ˙x ν = 0 (7.55)<br />
durch<br />
�<br />
dr<br />
�2 rsc2 −<br />
dτ r<br />
dt<br />
�<br />
dτ<br />
1 − rs<br />
�<br />
r<br />
r<br />
= 1 (7.56)<br />
2� dφ<br />
�2 dτ<br />
= L (7.57)<br />
rsL2 − 2 r3 = Q (7.58)<br />
+ L2<br />
r<br />
gegeben ist, wobei Q,L Konstanten der Bewegung sind <strong>und</strong> oBdA vorausgesetzt wird, dass die<br />
Bewegung in der Äquatorialebene θ = π/2 der Schwarzschildmetrik stattfindet. Wir identifizieren<br />
L als den Drehimpuls, der in dem hier untersuchten Fall verschwindet. Ferner ist rs = 2GM<br />
c2 ,<br />
so dass die Bewegungsgleichungen die einfache Form<br />
dt<br />
dτ =<br />
1<br />
1 − rs<br />
1<br />
=<br />
r 1 − 2GM<br />
rc2 (7.59)<br />
�<br />
dr<br />
�2 =<br />
dτ<br />
2GM<br />
+ Q (7.60)<br />
r<br />
annehmen. Wie lange dauert es, bis ein Teilchen von r0 bis rs fliegt <strong>und</strong> welchen Weg legt es<br />
dabei zurück?<br />
Haye Hinrichsen — Allgemeine <strong>Relativitätstheorie</strong>
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