Relativitätstheorie - Fakultät für Physik und Astronomie - Universität ...

7.3 Dynamische Lösungen der Feldgleichungen 155
und
�
B(r) = 1 − 2GM(r)
c2 �
, (7.47)
r
Würde man in der letzten Gleichung für M(r) einen konstanten Wert einsetzen (so als ob sich
alle Masse punktförmig im Zentrum befände) erhält man für B(r) genau den gleichen Ausdruck
wie im Fall der äußeren Schwarzschildmetrik, was auch so sein muss.
Beweisskizze: Laut Ansatz ist der metrische Tensor gegeben durch
gµν = diag � −A(r), B(r), r 2 , r 2 sin 2 θ � .
Damit ergibt sich für die Darstellung des Energie-Impuls-Tensors
Tµν = diag � ρc 2 A(r), pB(r), pr 2 , p(r 2 sin 2 θ) � .
Da alle Tensoren nach wie vor diagonal sind, gibt es im Prinzip vier Feldgleichungen. Da die R33-
Gleichung von der R22-Gleichung linear abhängig ist, verbleiben nur die Gleichungen mit den Indices
00,11 und 22. Durch geschickte Addition kann man zeigen, dass
R00 R11
+
2A 2B
+ R22
r
B′ 1 1
= − − +
2 rB2 r2 r2B ist, woraus sich ein Differentialgleichung für B(r) ergibt:
d
�
r
�
= 1 −
dr B(r)
8πG
c2 ρr2 .
8πG
= − ρ
c2 Mit der Bedingung, dass B(0) endlich ist, gelangt man zu der Lösung (7.47). Aus der Divergenzfreiheit
des Energie-Impuls-Tebsors leitet man eine weitere Differentialgleichung
− A′ (r)
A(r)
2p
= −
′ (r)
ρ(r)c2 + p(r)
her. Kombiniert man diese mit der dritten Feldgleichung für R22, gelangt man zur Oppenheimer-
Volkoff-Gleichung (7.44) ab sowie durch Integration auf Gl. (7.46).
7.3.2 Absolute Stabilitätsgrenze
Im folgenden wird gezeigt, dass es eine kritische Schwelle gibt, jenseites derer kein physikalischer
Mechanismus existieren kann, der den Stern stabilisieren und einen Gravitationskollaps
verhindern kann. In diesem Fall müssen die Objekte also kollabieren.
Ausgangspunkt ist die Oppenheimer-Volkoff-Gleichung (7.44), die den Innendruck p(r) für
ein radialsymmetrisches relativistisches Objekt in Abhängigkeit vom Radius r beschreibt. Um
diese Gleichung zu lösen, benötigt man die Zustandsgleichung des Objekts. Als einfachste Näherung
wollen wir annehmen, dass die Materie inkompressibel ist, dass der Himmelskörper also
eine konstante Dichte ρ = ρ0 besitzt. Mit den Abkürzungen
X =
�
1 − rs
, Y =
R
�
1 −
rsr 2
R 3
sind dann die beiden Funktionen der inneren Schwarzschildmetrik durch
gegeben, womit man auf die Lösung
A(r) = 1
4 (3X −Y )2 , B(r) = Y −2
2 Y − X
P(r) = ρ0c
3X −Y
Haye Hinrichsen — Allgemeine Relativitätstheorie
(7.48)
(7.49)
(7.50)