Relativitätstheorie - Fakultät für Physik und Astronomie - Universität ...

154 Sternmodelle
rotierenden Systeme werden als mögliche Emittenten von Gravitationswellen untersucht.
7.3 Dynamische Lösungen der Feldgleichungen
Wir wollen nun untersuchen was passiert, wann und wie es zu einem Gravitationskollaps kommt.
Zunächst wird mit Hilfe der inneren Schwarzschildmetrik die Stabilitätsgrenze bestimmt, jenseits
derer ein Kollaps unvermeidlich ist. Um den Kollaps als zeitabhängigen Vorgang zu beschreiben,
benötigen wir eine dynamische radialsymmetrische Lösung der Feldgleichungen.
Man kann mit dieser Lösung allerdings nicht nur kollabierende Sterne, sondern auch kollabierende
Galaxien (mit Sternen als Teilchen) und sogar das gesamte Universum (mit Galaxien als
Teilchen) beschreiben.
7.3.1 Innere Schwarzschildmetrik
Wir berechnen nun die Darstellung des metrischen Tensors innerhalb einer radialsymmetrischen
Masseverteilung. Wiederum benutzen wir den Ansatz (7.4)
ds 2 = −A(r)dt 2 + B(r)dr 2 + r 2 (dθ 2 + sin 2 θ dφ 2 ), (7.41)
mit reellen positiven Funktionen A(r) und B(r), die durch die Feldgleichungen bestimmt sind,
allerdings jetzt mit einem nichtverschwindenden Energie-Impuls-Tensor. Der Himmelskörper
sei dabei durch ein perfektes Fluid gegeben, d.h. wir gehen von Gl. (6.24) aus:
T µν = (ρ + p)u µ u ν + pg µν . (7.42)
Wir wollen ferner annehmen, dass es sich um einen statischen Himmelskörper handelt, dass
also die räumlichen Komponenten der Vierergeschwindigkeit u 1 ,u 2 ,u 3 verschwinden. Wegen
u µ uµ = u 0 u0 = c 2 folgt daraus
u 0 = c/ � A(r), u0 = −c � A(r) (7.43)
Man kann nun mit elemtaren Methoden die Feldgleichungen lösen. Das wichtigste Resultat
ist die Oppenheimer-Volkoff-Gleichung – eine Integro-Differentialgleichung für den Druck als
Funktion des Radius:
wobei
dp(r)
dr
= −GM(r)ρ(r)
r2 �
1 + p(r)
ρ(r)c2 ��
1 + 4πr3 p(r)
M(r)c2 � r
M(r) = 4π r
0
′2 ′ ′
ρ(r )dr
��
1 − 2GM(r)
c 2 r
� −1
. (7.44)
(7.45)
wie zuvor die innerhalb des Radius r befindliche Masse ist. Diese Gleichung kann man nur in
Kombination mit einer Zustandsgleichung lösen, die Druck und Dichte miteinander verknüpft.
Wenn das gelungen ist, kann man die Funktionen A(r) und B(r) ausrechnen durch
A(r) = exp
�
− 2G
c 2
� ∞
r
dr ′ �
M(r ′ ) + 4πr′3 p(r ′ )
c2 ��
1 − 2GM(r′ )
c2r ′
�
�−1 r ′2
Haye Hinrichsen — Allgemeine Relativitätstheorie
(7.46)