Relativitätstheorie - Fakultät für Physik und Astronomie - Universität ...

152 Sternmodelle
Um das Gleichgewicht des weißen Zwergs zu ermitteln, minimieren wir die Summe aus kinitischer
Energie Ekin und der Gravitationsenergie Egrav ≈ −GM2 /R, wobei V = 4
3πR3 das Volumen,
N = M/mn die Teilchenanzahl, und mn,me die Nukleonen- bzw. Elektronenmasse sind:
E = Ekin + Egrav = M
��
m
mn
2 ec4 + 32/3c2 ¯h 2 M2/3 2 3√ 2π2/3m 2/3
�
2
− mec −
n R2 GM2
(7.35)
R
Dieser Ausdruck wird nun für R minimiert, indem die Gleichung dE/dR = 0 gelöst wird. Die
Lösung lautet
�
�
�
R0 = �363/2c2 ¯h 4 − 2(6π) 2/3G2 ¯h 2 M4/3m 8/3
n
8π4/3c2G2M 2/3m2 em 10/3
.
n
(7.36)
Im Grenzfall kleiner Massen M → 0 dominiert der erste Term im Zähler, so dass der Radius des
weißen Zwergs wie R0 ∼ M −1/3 skaliert. Daraus folgt:
Ein weißer Zwerg wird mit zunehmender Masse kleiner.
Bei immer weiter zunehmender Masse wird der weiße Zwerg immer kleiner, bis der Fermidruck
nicht mehr ausreicht, um den Gravitationskollaps aufzuhalten. Die kritische Grenzmasse, bei der
das passiert, kann man mit der obigen Formel ausrechnen, indem man R0 = 0 setzt. Das Ergebnis
lautet
Mc =
� 3
4π
�
c¯h
�3/2 1
G m2 n
(7.37)
und hängt nicht von der Elektronenmasse ab. Diese Formel unterscheidet sich von dem Ergebnis
einer vollrelativistischen Behandlung nur im Vorfaktor. Das korrekte Ergebnis lautet
Mc = 2.01824√ 3π
2
�
c¯h
�3/2 1
G η2m2 , (7.38)
n
wobei η das Molekulargewicht pro Elektron ist, also die spezifische Zusammensetzung des weißen
Zwergs mit berücksichtigt.
Die Masse Mc heißt Chandrasekhar-Masse. Abgesehen von den Vorfaktoren hängt sie nur von
fundamentalen Konstanten (¯h,c,G) und der Nukleonenmasse mn ab. Da die sogenannte Planck-
Masse durch mp = � ¯hc/G gegeben ist, kann man die Chandrasekhar-Masse bis auf Vorfaktor
schreiben als
Mc ∝ m3 p
m 2 n
≈ (2.176 · 10−8 kg) 3
(1.673 · 10 −27 kg) 2 ≈ 3.68 · 1030 kg. (7.39)
Zum Vergleich: Die Sonnenmasse beträgt ca. 2 · 10 30 kg. Außerdem variieren die Massen der
Sterne für astrophysikalische Verhältnisse nur wenig, man findet Sterne mit Massen in der Bandbreite
von etwa 0.07 bis 120 Sonnenmassen, davon aber die meisten innerhalb von zwei Zehnerpotenzen.
Die Chandrasekhar-Masse liegt ziemlich genau in der Mitte dieses Bandes. Sie
ergibt sich aber vor allem aus der mikroskopischen Physik, nämlich der Unschärferelation und
der Nukleonenmasse in Zusammenspiel mit der Gravitationskonstante.
Die typische Masse eines Sterns stimmt mit m3 p
m 2 n
überein.
Obwohl weiße Zwerge zwar aus Sternen entstehen, deren Größe jedoch nicht bestimmen, steckt
in der Chandrasekhar-Masse offenbar mehr magic.
Haye Hinrichsen — Allgemeine Relativitätstheorie