Relativitätstheorie - Fakultät für Physik und Astronomie - Universität ...

8 Mathematische Grundlagen
Abbildung 1.1: Vektorraum R 2 : (a) In einem Vektorraum ist der Nullvektor (blauer Punkt) ein ausgezeichnetes
Element. (b) Der Vektor v kann hier in diesem Beispiel mit Hilfe der Basis {e1,e2} durch v =
2e1 + e2 dargestellt werden. (c) Ein affiner Raum besteht aus Punkten (von denen hier einige rot
eingezeichnet sind), die durch Vektoren eines Vektorraums verbunden sind. Der affine Raum hat
im wesentlichen die gleiche Struktur wie der Vektorraum, aber er besitzt kein ausgezeichnetes
neutrales Element – alle Punkte sind gleichberechtigt.
den, worauf wir im folgenden noch genauer eingehen werden.
Eine Menge {vi} von Vektoren v1,v2,... heißt linear abhängig, wenn es eine nichttriviale
Linearkombination gibt, die den Nullvektor ergibt. Eine linear unabhängige Menge {ei} von
Vektoren e1,e2,...‘ heißt Basis von V , wenn jeder Vektor v ∈ V durch eine Linearkombination
v = ∑ i
dargestellt werden kann. Die Anzahl der Basisvektoren ist die Dimension d = dim(V ) des Vektorraums.
Die Linearfaktoren vi ∈ K, die üblicherweise einen oberen Index tragen, werden als
Koordinaten oder Komponenten des Vektors bezeichnet. Oftmals werden sie zu einem Spaltenvektor
zusammengefasst, z.B:
⎛ ⎞
v i ei
v 1
(1.2)
v = ⎝v2
v3 ⎠ (1.3)
Die Komponenten beziehen sich auf die willkürlich gewählte Basis und ermöglichen eine Darstellung
des Vektors (siehe Abb. 1.1b). Da die Wahl der Basis nicht eindeutig ist, gibt es für
einen gegebenen Vektor im allgemeinen unendlich viele mögliche Darstellungen.
Hinweis: Es ist wichtig, den Unterschied zwischen (a) der physikalischen Realität, (b) dem zur Mo-
dellierung eingesetzten abstrakten mathematischen Objekt und (c) seiner Darstellung zu verstehen.
Der physikalische Ortsraum wird beispielsweise im Rahmen der Newtonschen Mechanik durch den
Vektorraum R 3 modelliert. Dieser Vektorraum ist ein abstraktes mathematisches Objekt. Um damit
zu rechnen, benötigt man eine Darstellung, z.B. kartesische Koordinaten oder Polarkoordinaten. Für
ein gegebenes abstraktes mathematisches Objekt gibt es in der Regel eine Vielzahl möglicher Darstel-
lungen. Deren Klassifizierung ist Gegenstand eines eigenständigen Teilgebiets der Mathematik, der
sogenannten Darstellungstheorie.
Die mathematische Struktur eines Problems wird besonders transparent, wenn es darstellungsfrei
formuliert wird. Um etwas jedoch konkret auszurechnen, ist in der Regel die Wahl einer Darstellung
erforderlich.
Haye Hinrichsen — Allgemeine Relativitätstheorie