Relativitätstheorie - Fakultät für Physik und Astronomie - Universität ...

150 Sternmodelle
sich der Stern zunächst aus. Dadurch nimmt der gravitative Einfluss ab und der Druck im Zentrum
nimmt ab. Damit werden die Bedinungen für die Kernfusion ungünstiger und damit die
Energieproduktion automatisch gedrosselt.
Abschätzung von rs/R
Um Druck und Dichte zu verknüpfen, nehmen wir in grober Näherung an, dass die Sonne ein
ideales Gas ist, d.h. PV = NkBT . Dabei identifizieren wir P mit dem Druck im Mittelpunkt P(0)
und schätzen die Anzahl der Teilchen mit N = M/mp ab, wobei mp die Protonenmasse ist. Die
Zustandsgleichung nimmt also die Form
ρ kBT
P(0) =
mp
an. Eingesetzt in (7.28) erhalten wir die Abschätzung
rs 4kBT
≈
R mpc2 (7.29)
(7.30)
Der Schwarzschildradius der Sonne beträgt 2.952 km, entsprechend rs/R = 4.24 · 10 −6 . Da die
Protonenruhemasse ungefähr 1 GeV beträgt, erhält man als Temperatur des Plasmas kBT ≈ 1
keV ≈ 10 8 K. In der Literatur findet man Angaben von 15 Millionen Kelvin, also liegen wir mit
weniger als einer Größenordnung richtig.
Ebenso können wir den Druck im Zentrum der Sonne ausrechnen:
2 1 keV
P(0) = ρc
1 GeV ≈ 10−6ρc 2 = 10 −6 · 1408 kg
m3 c2 ≈ 1.2 · 10 14 Pa ≈ 1.2 · 10 9 bar. (7.31)
Der Literaturwert liegt be 200 Milliarden bar, also deutlich höher. Hier zeigen sich die Grenzen
der Annahme konstanter Dichte. In der Tat variiert die Dichte stark und erreicht im Kern Werte
um 150.000 kg/m 3 bei einer durchschnittlichen Dichte der gesamten Sonne von nur 1408 kg/m 3 .
Bemerkung: Eine Kernfusion findet bei Energien von einigen 10 MeV statt und nicht bei 1keV . In
der Sonne ist es also viel zu kalt für eine Fusion von Wasserstoff zu Helium. In der Tat ist es so, dass
die Kernfusion in der Sonne nicht mit der in einer thermonuklearen Explosion vergleichbar ist, sonst
würde nämlich die Sonne sprichwörtlich explodieren. Vielmehr findet die Kernfusion nur vereinzelt
aufgrund des Tunneleffekts mit sehr niedriger Rate (ca. 10 − 20) statt. Die schiere Größe der Sonne
stellt sicher, dass trotzdem genug Energie produziert wird, um den Himmelskörper zu stabilisieren.
Bei der Erde ist es übrigens auch so. Auch sie wäre längst erkaltet, wenn nicht im Innern mittels des
Tunneleffekts Kernspaltungsprozesse mit niedriger Rate stattfänden.
7.2.2 Weiße Zwerge
Weiße Zwerge sind vergleichsweise kleine Sterne, die im Hertzsprung-Russel-Diagramm unterhalb
der Hauptreihe angeordnet sind. Sie repräsentieren das Endstadium massearmer Sterne und
entwickeln sich aus Roten Riesen, die ihre äußere Hülle abgestoßen haben und kollabiert sind.
Wie wir sehen werden, besteht ein weißer Zwerg in der Regel aus dem ausgebrannten Kohlenstoffkern
eines Sterns, sofern dieser leichter als 1.44 Sonnenmassen ist.
Haye Hinrichsen — Allgemeine Relativitätstheorie