Relativitätstheorie - Fakultät für Physik und Astronomie - Universität ...

148 Sternmodelle
Abbildung 7.1: Sterngleichgewicht: Die auf die Schale von r bis r + dr wirkende Gravitationskraft wird durch
den Druckgradienten kompensiert.
Die dabei entstehende Kraft dF pro Oberfläche dA ist
dF Gρ(r)M(r)
=
dA r2 (7.23)
muss durch den Differenzdruck auf beiden Seiten der Kugelschale kompensiert werden. Man
erhält auf diese Weise eine Differentialgleichung
dP(r)
= −Gρ(r)M(r)
dr r2 . (7.24)
Beim Lösen dieser DGL muss die Integrationskonstante so gewählt werden, dass der Druck an
der Oberfläche des Himmelskörpers verschwindet, d.h. P(R) = 0. Zum Lösen sind außerdem
thermodynamische Gleichungen erforderlich, die den Druck P(r), die Dichte ρ(r) und die Temperatur
T (r) miteinander verknüpfen.
Näherung konstanter Dichte
Als grobe Näherung wollen wir annehmen, dass die Dichte ρ(r) im Innern des Sterns konstant
ist. Damit ist M(r) = 4
3 πr3 ρ und die Differentialgleichung (7.24) lautet
dP(r)
dr
Die Lösung mit der Randbedingung P(R) = 0 lautet
= −4
3 πrGρ2 . (7.25)
P(r) = 2π
�
Gρ2 R
3 2 − r 2�
. (7.26)
Mit einer konstanten Dichte ist der Schwarzschildradius (7.19) gegeben durch 3
rs = 8πGρR3
3c 2 . (7.27)
Kombiniert man beide Gleichungen, so erhält man
rs
R
4P(0)
= . (7.28)
ρc2 Ein schönes Ergebnis: Der aktuelle Druck dividiert durch den ‘relativistischen Druck’ ρc 2 ist
proportional zu dem dimensionslosen Verhältnis rs/R.
3 Allerdings liegt rs innerhalb des Himmelskörpers, wo die äußere Schwarzschildmetrik nicht gültig ist.
Haye Hinrichsen — Allgemeine Relativitätstheorie