Relativitätstheorie - Fakultät für Physik und Astronomie - Universität ...

146 Sternmodelle
Gravitationsrotverschiebung
In der äußere Schwarzschildmetrik ds2 �
= −
weist zwei Singularitäten auf, nämlich
1− rs
r
�
dt2 �
+
1− rs
r
r = rs: eine scheinbare Singularität am Schwarzschildradius
r = 0: eine echte physikalische Singularität im Zentrum
� −1
dr 2 +r 2 (dθ 2 +sin 2 θ dφ 2 )
Die scheinbare Singularität ist eine koordinatenbedingte Singularität, ähnlich wie Kugelkoordinaten
am Nordpol einer Kugel singuläre Eigenschaften haben, obwohl der Nordpol in Wirklichkeit
keine besonderen Eigenschaften besitzt. Die scheinbare Singularität in der Schwarzschildmetrik
ist eine Konsequenz der Zeitkoordinate, die hier so gewählt ist, dass sie einer Uhr in
unendlicher Entfernung entspricht. Wie man an der Form der Schwarzschildmetrik unmittelbar
ablesen kann, gehen Uhren in Zentrumsnähe um den Faktor � 1 − rs/r langsamer und bleiben
am Schwarzschildradius stehen.
Bemerkung: In ihrem Eigensystem bleiben die Uhren am Schwarzschildradius natürlich nicht ste-
hen, sie bleiben nur stehen, wenn sie aus dem Unendlichen beobachtet werden. Uhren innerhalb des
Schwarzschildradius sind aus dem Unendlichen nicht wahrnehmbar, sondern kausal getrennt.
Diese gravitative Zeitdilatation führt zu dem Effekt der Gravitationsrotverschiebung. Emittiert
nämlich ein Körper in Zentrumsnähe Licht mit der �Frequenz νe, wird ein Beobachter im Unendlichen
eine rotverschobene Frequenz νr = νe 1 − rs/r wahrnehmen. In der Astrophysik
versteht man unter der Rotverschiebung (engl. redshift) die dimensionslose Kenngröße
Folglich ist die Gravitationsrotverschiebung gegeben durch
z =
z = λr − λe
. (7.20)
λe
1
� − 1 ≈ rs 1 − r
rs
2r
(7.21)
Die Strahlung der Sonne ist beispielsweise um z ≈ 2 · 10 −6 rotverschoben, entsprechend einem
Gangunterschied zwischen Uhren an der Oberfläche und im Unendlichen von ca. 19 Stunden
auf 1000 Jahre.
Haye Hinrichsen — Allgemeine Relativitätstheorie