Relativitätstheorie - Fakultät für Physik und Astronomie - Universität ...

7.1 Schwarzschild-Lösung 145
Aus R22 = 0 folgt damit die Differentialgleichung
1 − e −β + rβ ′ = 0 (7.15)
mit der Lösung
e β(r) = 1 − rs
,
r
(7.16)
wobei rs eine Integrationskonstante ist. Damit ist die äußere Schwarzschildmetrik gegeben durch
Bemerkung:
ds 2 �
= −
1 − rs
r
�
dt 2 �
+
1 − rs
r
� −1
dr 2 + r 2 (dθ 2 + sin 2 θ dφ 2 ). (7.17)
• Man kann zeigen, dass die Drehinvarianz den metrischen Tensor weitgehend festlegt und dass
man durch eine Koordinatentransformation (Diffeomorphismus) mit einer neuen Zeitkoordinate
auf die Schwarzschildmetrik geführt wird. Ohne Zeitabhängigkeit vorauszusetzen erhält man
hier also eine statische Lösung. Das heißt jedoch nur, dass die Metrik in den gewählten Koordinaten
statisch aussieht. In der Tat beschreibt die Schwarzschildmetrik auch kollabierende und
sogar radial oszillierende Objekte.
• Das sogenannte Birkhoff-Theorem besagt, dass das äußere Gravitationsfeld eines Körpers mit
radialsymmetrischer Massenverteilung ähnlich wie in der Newtonschen Theorie nur von der
Gesamtmasse M abhängt und dass es sich bei der äußeren Schwarzschildmetrik um die einzige
kugelsymmetrische asymptotisch flache Lösung dieser Art handelt.
Schwarzschild-Radius
Die Integrationskonstante rs heißt Schwarzschildradius. Um sie quantitativ zu bestimmen, betrachten
wir die Schwarzschildmetrik in großer Entfernung von einem Zentralgestirn mit der
Masse M. Von der Schwachfeldnäherung wissen wir, dass dort die Komponente
g00 ≈ 1 + h00 ≈ 1 + 2Φ
c 2
(7.18)
durch das Newtonsche Gravitationspotential Φ = GM/r dominiert wird. Damit erhält man für
den Schwarzschildradius die elementare Formel
Hier einige Beispiele:
rs = 2GM
c 2
Masse Schwarzschildradius
Elektronenmasse 9.1 · 10 −31 kg 1.3 · 10 −60 m (unterhalb der Planck-Länge)
Planck-Masse 2 · 10 −8 kg Planck-Länge 1.6 · 10 −35 m
Alltagsmasse 1 kg 1.5 · 10 −27 m, kleiner als Auflösung von CERN
Erdmasse 5.9 · 10 24 kg 7 mm
Sonnenmasse 2.0 · 10 30 kg 3 km
Gesamtmasse Universum 1.6 · 10 55 kg 10 28 m ∼ = Sichthorizont des Universums
(7.19)
Diese Beispiele haben natürlich keine konkrete Bedeutung, da die Schwarzschildradien kleiner
als die betrachteten Objekte sind, die Metrik aber nur außerhalb der Objekte gültig ist. Sie sollen
nur eine vage Vorstellung von den Größenordnungen vermitteln.
Haye Hinrichsen — Allgemeine Relativitätstheorie