Relativitätstheorie - Fakultät für Physik und Astronomie - Universität ...

144 Sternmodelle
Lösung der Feldgleichungen
Es wird im folgenden zweckmäßig sein, die beiden Funktionen durch Exponentialfunktionen
A(r) = e α(r) und B(r) = e β(r) darzustellen. Der metrische Tensor ist diagonal und lautet:
g00 = gtt = −e β , g11 = grr = e α , g22 = gθθ = r 2 , g33 = gφφ = r 2 sin 2 θ (7.5)
mit dem Inversen g µν = (gµν) −1 . Wegen der Symmetrie heben sich in den Christoffelsymbolen
jeweils der zweite und der dritte Term gegenseitig auf. Die nichtverschwindenden Christoffelsymbole
lauten deshalb
Γ 0 01 = Γ 0 10 = 1
2 β ′ , Γ 1 00 = 1
2 β ′ e β−α , Γ 1 11 = 1
2 α′ ,
Γ 1 22 = −re −α , Γ 1 33 = −re −α sin 2 θ , Γ 2 12 = Γ 2 21 = 1/r ,
Γ 2 33 = −sinθ cosθ , Γ 3 13 = Γ 3 31 = 1/r , Γ 3 23 = Γ 3 32 = 1/tanθ.
Daraus ergibt sich der Krümmungstensor
Der Ricci-Tensor lautet
und der Ricci-Skalar ist demzufolge
R 0 101 = − 1
2 β ′′ − 1
4 β ′2 + 1
4 α′ β ′
R 0 202 = − 1
2 re−α β ′
(7.6)
R 0 303 = − 1
2 re−α β ′ sin 2 θ (7.7)
R 1 212 = − 1
2 re−α α ′
R 1 313 = − 1
2 re−α α ′ sin 2 θ
R 2 323 = (1 − e −α )sin 2 θ .
R00 = e β−α ( 1
2 β ′′ + 1
4 β ′2 − 1
4 α′ β ′ + 1
r β ′ ), (7.8)
R11 = − 1
2 β ′′ − 1
4 β ′2 + 1
4 α′ β ′ + 1
r α′ , (7.9)
R22 = 1 + e −β (− 1
2 rα′ + 1
2 rβ ′ − 1), (7.10)
R33 = R22 sin 2 θ (7.11)
R = e−α
2r2 �
4(e α − 1) + r � (α ′ − β ′ )(4 + rβ ′ ) − 2rβ ′′��
. (7.12)
Im Vakuum ist Rµν = 0. Aus den ersten beiden Gleichungen folgt
α ′ + β ′ = 0 ⇒ α + β = const. (7.13)
Wir fordern nun, dass die Schwarzschildmetrik ein gravitatives Zentrum (Stern, schwarzes Loch)
beschreibt und deshalb in großer Entfernung in die flache Minkowskimetrik übergeht, d.h.
lim α = lim β = 0 ⇒ α = −β ⇒ const = 0. (7.14)
r→∞ r→∞
Haye Hinrichsen — Allgemeine Relativitätstheorie