Relativitätstheorie - Fakultät für Physik und Astronomie - Universität ...

7 Sternmodelle
7.1 Schwarzschild-Lösung
Karl Schwarzschild (1873-1916) verdanken wir die einfachste aber vielleicht wichtigste exakte
Lösung der Einsteinschen Feldgleichungen. Als 1914 der 1. Weltkrieg ausbrach, meldete er
sich wie viele deutsche Juden in der damaligen Zeit freiwillig zur Armee. Auch an der Front
in Russland arbeitete er an physikalischen Problemen und fand 1915 den nach ihm benannten
Schwarzschild-Radius, kehrte als Invalide nach Deutschland zurück und verstarb 1916.
Die Schwarzschildlösungen beruhen vor allem auf der Annahme der Radialsymmetrie und
eignen sich daher zur Beschreibung von Sternen, Neutronensternen und schwarzen Löchern, sind
aber auch die Grundlage für einfache kosmologische Modelle. Ähnlich wie in der Newtonschen
Theorie, in der man den Feldverlauf innerhalb und außerhalb eines Sterns getrennt betrachtet,
gibt es eine innere und eine äußere Schwarzschildmetrik. Wir werden uns zuerst mit der äußeren
Schwarzschildmetrik befassen.
7.1.1 Schwarzschildmetrik im Vakuum
Die äußere Schwarzschildmetrik ist eine radialsymmetrische Lösung der Einsteinschen Feldgleichungen
im Vakuum Rµν = 0. Ausgangspunkt ist die Beobachtung, dass sich die flache
Minkowskimetrik ηµν in Kugelkoordinaten t, ˜r,θ,φ schreiben lässt als Wegelement
ds 2 = −dt 2 + d˜r 2 + ˜r 2 (dθ 2 + sin 2 θ dφ 2 ). (7.1)
Ein möglicher Ansatz wäre, jeden dieser Terme mit einer Funktion zu multiplizieren, die nur
vom Radius ˜r abhängt:
ds 2 = − f (˜r)dt 2 + g(˜r)d˜r 2 + h(˜r)˜r 2 (dθ 2 + sin 2 θ dφ 2 ). (7.2)
Nur zwei dieser drei Funktionen sind unabhängig, da man die Radialkoordinate durch
reskalieren kann. 1 Der Ansatz lautet also (mit c = 1)
r = ˜r � h(˜r) (7.3)
ds 2 = −B(r)dt 2 + A(r)dr 2 + r 2 (dθ 2 + sin 2 θ dφ 2 ), (7.4)
wobei A(r) und B(r) positive Funktionen sind, die durch Lösung der Feldgleichungen bestimmt
werden müssen.
1 Damit die Signatur erhalten bleibt, muss die Funktion h bestimmte Voraussetzungen erfüllen, die hier übergangen
werden.
Haye Hinrichsen — Allgemeine Relativitätstheorie