Relativitätstheorie - Fakultät für Physik und Astronomie - Universität ...

1.2 Vektorräume 7
Beispiele sind die rationalen Zahlen Q, die reellen Zahlen R und die komplexen Zahlen C,
nicht jedoch die ganzen Zahlen Z. Beachten Sie, dass beide Verknüpfungen unterschiedliche
neutrale Elemente besitzen (Addition 0, Multiplikation 1) und dass im zweiten Axiom die Null
ausgeschlossen werden muss, da man nicht durch Null teilen darf, die Null also bezüglich der
Multiplikation kein Inverses besitzt.
Bemerkung: Zahlenwertige Größen werden oft auch als Skalare und K als Skalarkörper bezeichnet.
Unter Skalaren versteht man Größen, die unabhängig vom gewählten Koordinatensystem sind, die
also invariant unter Koordinatentransformationen sind. Der Betrag der Geschwindigkeit ist beispiels-
weise ein Skalar, die Komponenten der Geschwindigkeit dagegen nicht.
1.2.2 Vektorraumaxiome
Ein linearer Vektorraum V über einem Skalarkörper K ist eine Menge von Elementen, genannt
Vektoren, die skaliert (also in ihrer Länge geändert) und linear kombiniert (also addiert) werden
können. Die Axiome lauten:
(i) Vektoren bilden bezüglich der Addition eine kommutative Gruppe (V,+).
(ii) Vektoren u,v ∈ V können mit Skalaren λ,µ ∈ K von links multipliziert werden. Die Skalarmultiplikation
hat folgende Eigenschaften:
- Homogenität: λ(µv) = (λ µ)v
- Linearität in V : λ(u + v) = λu + λv
- Linearität in K: (λ + µ)v = λv + µv
- Neutrales Element 1 ∈ K: 1v = v.
Folgendes ist dabei zu beachten:
a) Da (V,+) eine kommutative Gruppe ist, besitzt ein Vektorraum ein ausgezeichnetes neutrales
Element, nämlich den Nullvektor. Der physikalische Ortsraum besitzt aber keinen
ausgezeichneten Vektor und ist deshalb streng genommen kein Vektorraum.
b) Die Vektorraumaxiome sagen nichts über die Länge eines Vektors aus. Dazu benötigt man
eine Norm oder eine Metrik.
c) In einem Vektorraum ist weder der Abstand noch der Winkel zwischen Vektoren erklärt.
Um Winkel zu definieren, benötigt man ein Skalarprodukt.
Beispiel: Die komplexen 3 ×3-Matrizen können addiert und skalar multipliziert werden, bilden
also einen Vektorraum über C. Allerdings gibt es keinen natürlichen von der Alltagserfahrung
motivierten ‘Abstand’ oder ‘Winkel’ zwischen zwei Matrizen. Solche Begriffe müssten erst zu-
sätzlich definiert werden.
1.2.3 Darstellung von Vektoren
Die Skalarmultiplikation ermöglicht die Bildung von Linearkombinationen v = ∑i λ i vi von Vektoren
vi ∈ V mit Linearfaktoren λ i ∈ K. Dabei ist es üblich, obere und untere Indices zu verwen-
Haye Hinrichsen — Allgemeine Relativitätstheorie