Relativitätstheorie - Fakultät für Physik und Astronomie - Universität ...

140 Feldgleichen der Allgemeinen Relativitätstheorie
Beweis: Angenommen die linke Seite ist ungleich Null. Unter einer infinitesimalen Koordinatentransformation
geht sie via Gl. (6.40) über in
g µρ�
hµν,ρ − 1
2 hµρ,ν − ξµ,νρ + 1
2 ξµ,ρν − ξν,µρ + 1
2 ξρ,µν
�
= h µ ν,µ − 1
2 hµ µ,ν − �ξν ,
wobei sich die rot markierten Terme wegheben. Um diesen Ausdruck zum Verschwinden zu bringen,
muss also die Wellengleichung �ξν = h µ ν,µ − 1 2 hµ µ,ν für die Verschiebung ξ gelöst werden.
In dieser sogenannten Lorenz-Eichung 4 vereinfacht sich der Ricci-Tensor zu Rµν = −�hµν, d.h.
die linearisierten Feldgleichungen lauten
−�hµν + 1
2 ηµν�h = 16πG
c4 Tµν bzw. �hµν = − 16πG
c4 �
6.2.6 Newtonscher Grenzfall
Tµν − 1
2
T ηµν
�
. (6.42)
Wir wollen nun die genäherten Feldgleichungen mit der Newtonschen Theorie vergleichen. Dabei
entsprechen sich folgende Elemente:
Newtonsche Theorie Einsteinsche Theorie
Feldgleichungen ∇ 2 Φ = 4πGρ �hµν = − 16πG
c 4
Bewegungsgleichung
�
Tµν − 1
�
2T ηµν
¨
�x = −∇Φ ¨x µ + Γ µ
αβ ˙xα ˙x β = 0
Im Newtonschen Grenzfall ist v ≪ c, sodass die Vierergeschwindigkeit ˙x µ = γ(c,�v) durch die
zeitliche Komponente dominiert wird. Die räumlichen Bewegungsgleichungen nehmen deshalb
für festes i = 1,...,3 in niedrigster Ordnung die Form
¨x i = −Γ i 00 ˙x 0 ˙x 0
����
≈c 2
(6.43)
an, wobei
Γ i 00 = 1
2 ηiβ � �
2hβ0,0 − h00,β (6.44)
ist. Unter der Annahme, dass das Gravitationsfeld, also die Metrik zeitunabhängig ist, verschwindet
der erste Term. Damit reduziert sich die Bewegungsgleichung zu
¨x i = c2
2 h00,i . (6.45)
Die rechte Seite dieser Bewegungsgleichung wird nun mit Hilfe der Feldgleichung mit dem
Energie-Impuls-Tensor verknüpft. Dazu betrachten wir die 00-Komponente des Ricci-Tensors:
Rµ0α0 = 1�
� 1
hµ0,0α − hµα,00 − h00,µα + h0α,µ0 = −
2
2 h00,µα
⇒ R00 = − 1 α
h
2
00, α = − 1
2
3
∑
i=1
∂ 2
h00
(6.47)
∂xi2 (6.46)
4 Die Lorenz-Eichung ist nach dem dänischen Physiker Ludvig Lorenz benannt, nicht zu verwechseln mit Hendrik
A. Lorentz, dem Urheber der Lorentz-Transformation.
Haye Hinrichsen — Allgemeine Relativitätstheorie