Relativitätstheorie - Fakultät für Physik und Astronomie - Universität ...

6.2 Feldgleichungen 139
also
wobei h = h µ µ ist und
Rµν = 1�
ρ
h µ,ρν + h
2
ρ � 2
ν,ρµ − �hµν + h,µν + O(h ) (6.33)
� = η αβ ∂α∂ β = ∇ − ∂ 2
t
(6.34)
der d’Alembert-Operator ist, auch Wellenoperator oder Quabla genannt. Der Ricci-Skalar ist
also gegeben durch
R = h µν ,µν − �h + O(h 2 ) (6.35)
Die linearisierten Einsteinschen Feldgleichungen (ohne kosmologische Konstante) lauten also
h ρ µ,ρν + h ρ ν,ρµ − �hµν + h,µν − ηµν(h αβ
16πG
,αβ − �h) =
c4 Tµν , (6.36)
wobei der Faktor 1
2 auf die rechte Seite gebracht worden ist. Diese Feldgleichungen sind eichinvariant,
gelten also in jedem beliebigen Koordinatensystem unter der Voraussetzung, dass die
Schwachfeldnäherung gültig bleibt.
Eichinvarianz
Wir können – ähnlich wie in der Elektrodynamik – diese Eichfreiheit benutzen, um die linearisierten
Feldgleichungen in eine möglichst einfache Form zu bringen. Dazu betrachten wir einen
Diffeomorphismus, der sich nur geringfügig von einer identischen Abbildung unterscheidet, also
eine infinitesimale Koordinatentransformation
x µ (p) → x µ ′ (p) = x µ (p) + ξ µ (p), (6.37)
wobei p ∈ M ein Ereignis ist und die ξ µ so klein sind, dass eine Näherung in erster Ordnung
gerechtfertigt ist. Unter dieser Annahme wollen wir das Transformationsverhalten in erster Ordnung
sowohl in hµν als auch int ξ µ untersuchen.
Laut Gl. (1.87) transformiert sich die Metrik bei einer Koordinatentransformation gemäß
Mit ∂
∂x µ ′ = ∂
∂x µ + O(ξ ) folgt wegen
daraus die Gleichung
also
∂x α
∂x µ ′ = ∂(xα ′ − ξ α )
∂x µ ′ =
gµν → g ′ µν = ∂xα
∂x µ ′
∂x β
∂x ν ′ g αβ . (6.38)
δ α µ − ∂ξα
∂x µ ′ = δ α µ + ξ α ,µ + O(ξ 2 )
ηµν + hµν → ηµν + h ′ µν = � δ α µ − ξ α �� β
,µ δν − ξ β �� �
,ν ηαβ + hαβ , (6.39)
h ′ µν = hµν − ξµ,ν − ξν,µ . (6.40)
Die Komponenten von hµν sind also wie erwartet nicht eichinvariant. Man kann die Eichung
nun so wählen, dass die Divergenz von hµν − 1
2 hηµν verschwindet, d.h.
h µ ν,µ − 1
2 hµ µ,ν = 0. (6.41)
Haye Hinrichsen — Allgemeine Relativitätstheorie