Relativitätstheorie - Fakultät für Physik und Astronomie - Universität ...

138 Feldgleichen der Allgemeinen Relativitätstheorie
Dieser Tensor ist spurlos (d.h. T µ µ = 0), so dass Druck und Energiedichte der elektromagnetischen
Strahlung durch die Zustandsgleichung ρ = 1
3 p gegeben sind. Elektromagnetische Strahlung
verhält sich also wie ein ultrarelativistisches Gas.
Zusammenfassung 6.1
Die wichtigsten Formeln der ART in Koordinatendarstellung:
R µ
ναβ
Γ α µν = 1
2 gαβ (g β µ,ν + g βν,µ − g µν,β )
¨x α + Γ α µν ˙x µ ˙x ν = 0
= Γµ
νβ,α − Γµ
να,β + Γρ
νβ Γµ ρα − Γ ρ ναΓ µ
Rµν − 1
2 Rgµν + Λgµν = 8πG
c4 Tµν Rµν = Λgµν + 8πG
c4 6.2.5 Schwachfeldnäherung
T µν = (ρ + p)u µ u ν + pg µν
ρβ ; Rµν = R ρ µρν
�
Tµν − 1
�
T gµν
2
Ein schwaches Gravitationsfeld unterscheidet sich nur geringfügig von einer Minkowskimetrik.
In diesem Fall benutzt man den Ansatz
gµν(x) = ηµν + hµν(x), (6.29)
wobei das symmetrische Tensorfeld hµν(x) und dessen partielle Ableitungen klein sind. Ziel ist
es, die Feldgleichungen auf diese Weise linear zu nähern. Dabei ist natürlich nach wie vor die
Eichinvarianz der Theorie, also die Invarianz unter Diffeomorphismen zu beachten.
Linearisierte Feldgleichungen
In linearer Ordnung von h erhält man die Christoffelsymbole
Γ α µν = 1
2 ηαβ (h β µ,ν + h βν,µ − h µν,β ) + O(h 2 ). (6.30)
Im Riemannschen Krümmungstensor tragen nur die ersten beiden Terme in linearer Ordnung
bei, so dass man einen Ausdruck von zweiten partiellen Ableitungen erhält:
R µ
ναβ
= Γµ
νβ,α −Γµ να,β +O(h2 ) = 1
�
�
hρβ,να −hνβ,ρα −hρα,νβ +hνα,ρβ +O(h
2
2 ). (6.31)
Daraus ergibt sich der Ricci-Tensor
Rµν = R ρ µρν = 1
�
h
2
ρ ν,µρ
� �� �
=h ρ ν,ρµ
−h
ρ
µν, ρ −h ρ ρ,µν
� �� �
=�hµν
� �� �
=h,µν
Haye Hinrichsen — Allgemeine Relativitätstheorie
+h
ρ
µρ, ν
� �� �
=h ρ µ,ρν
�
+ O(h 2 ), (6.32)