Relativitätstheorie - Fakultät für Physik und Astronomie - Universität ...

136 Feldgleichen der Allgemeinen Relativitätstheorie
Beweis: Beim Bilden der Divergenz wendet man die Kettenregel an und erhält
Nach partieller Integration ist
∂µT µν �
= m
dτ dyν (τ) dy
dτ
µ (τ) ∂
dτ ∂x µ δ 4 (x − y(τ))
�
= −m dτ dyν (τ) dy
dτ
µ (τ) ∂
dτ ∂y µ δ 4 (x − y(τ))
�
= −m
∂µT µν �
= m
dτ dyν (τ)
dτ
d
dτ δ 4 (x − y(τ))
dτ δ 4 (x − y(τ)) d2yν (τ)
dτ2 .
Bei einer kräftefreien, also gleichförmigen Bewegung ist die zweite Ableitung gleich Null.
Perfekte Fluide
Unter einem Fluiden versteht man eine räumlich ausgedehnte Substanz, die keine Wärmeleitfähigkeit
besitzt und für kleine Geschwindigkeiten keine Scherkräfte entwickelt, d.h. die Viskosität
ist gleich Null. Der Begriff eines Fluids umfasst nicht nur bestimmte Flüssigkeiten, sondern auch
Gase, Plasmen und sogar Strahlung.
Unter einem perfekten Fluid versteht man ein Fluid, das vollständig durch eine Dichteverteilung
ρ(�x,t), Geschwindigkeitsfeld�v(�x,t) und einen isotropen thermodynamischen Druck p(�x,t)
gekennzeichnet wird. Solche Fluide erfüllen die hydrodynamische Bewegungsgleichung
sowie die Kontinuitätsgleichung
ρ ˙ �v = −∇P mit �v ˙
∂
= �v + (∇ ·�v)�v (6.20)
∂t
∂
ρ = −∇(ρ�v). (6.21)
∂t
Man kann den Energie-Impuls-Tensor axiomatisch von der Lagrangedichte L = −ρ durch
Variation ableiten. Wir wollen hier aber einen anschaulichen Weg einschlagen. Dazu begeben
wir uns in das lokale Ruhesystem des Fluids. Hier ist die mittlere Geschwindigkeit der Teilchen
gleich Null, aber dennoch bewegen sich die Teilchen auf zufällige Weise durcheinander.
Wenn wir jetzt an dieser Stelle ein Flächenelement einbringen, werden etwa die gleiche Anzahl
von Teilchen von einer Seite auf die andere und in entgegengesetzter Richtung durch die
Fläche hindurchtreten. Allerdings werden die Teilchen in beide Richtungen von der Testfläche
positiv gezählt, denn einen positiven Impuls von links nach rechts zu transportieren hat den gleichen
Effekt, wie einen negativen Impuls von rechts nach links zu transportieren. Der Energie-
Impuls-Tensor wird also in den räumlichen Komponenten angeben, welcher Gesamtimpuls pro
Zeiteinheit durch die Testfläche dringt. Diese Größe bezeichnet man als Druck p.
Man kann sich vorstellen, dass jedes Teilchen in diesem Gas einen zufällig verteilten Geschwindigkeitsvierervektor
u besitzt, der mit einer gewissen Wahrscheinlichkeitsdichte P(u)
verteilt ist. Im lokalen Ruhesystem des Fluids wird diese Verteilung rotationssymmetrisch sein.
Der Energie-Impuls-Tensor ist also gegeben durch
T µν =
�
DuP(u)ρu µ u ν , (6.22)
Haye Hinrichsen — Allgemeine Relativitätstheorie