Relativitätstheorie - Fakultät für Physik und Astronomie - Universität ...

6.2 Feldgleichungen 135
Warum benötigt man überhaupt einen Tensor zur Beschreibung des Energie-Impuls-Inhaltes?
Würde nicht ein Vektor ausreichen? Um das zu verstehen, stellen wir uns zunächst eine homogene
Wolke parallel fliegender Teilchen im R 3 mit Geschwindigkeit �v vor. Ferner sei ein
Flächenelement gegeben, dessen Größe und Ausrichtung durch den Normalvektor �n festgelegt
ist. Es ist anschaulich klar, dass der Teilchenfluß pro Zeiteinheit durch dieses Flächenelement
gleich dem Skalarprodukt �v ·�n ist. Jedes Teilchen trägt einen Impuls �p, so dass der Impulsfluß
durch die Fläche durch �p(�v ·�n) = m�v(�v ·�n) gegeben ist.
Diese Abbildung kann man als einen Tensor T mit der Wirkungsweise
T (�n) = m�v(�v ·�n) interpretieren. Dieser Tensor ist
also das dyadische Produkt T = m�v ◦�v bzw. in Dirac-Notation
T = m|v〉〈v|, projeziert also den Normalvektor auf die Geschwindigkeit
und gibt den entsprechenden Impuls zurück.
Nicht immer kann der Tensor als dyadisches Produkt geschrieben
werden. Wenn man z.B. eine Wolke nichtwechselwirkender
Teilchen betrachtet, von denen die eine Hälfte nach oben mit
Geschwindigkeit �v1, die andere nach rechts mit Geschwindigkeit
�v2 fliegen (und die als Punktteilchen dabei nicht kollidieren),
ist der entsprechende Tensor T = 1
2m(|v1〉〈v1| + |v2〉〈v2|) die
Summe aus den beiden Bestandteilen. Dieser lässt sich nicht
mehr dyadisch darstellen und damit wäre diese Mischung von
dem vorhergehenden Beispiel durch Messung an der Testfläche
unterscheidbar. Ein Vektor könnte diesen Sachverhalt nicht
ausdrücken.
Bemerkung: Eine ähnliche Situation kennen Sie vielleicht aus der Quantentheorie. Ein statistisches
Ensemble von Quantensystemen wird dort durch eine Dichtematrix beschrieben. Für einen reinen Zustand
hat diese Matrix die Form eines dyadischen Produkts |ψ〉〈ψ|, während sich allgemeine Mischzustände
nicht so schreiben lassen. Die Dichtematrix enthält die maximale Teilinformation über die
Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zustände, die durch Messung extrahierbar ist. In ähnlicher Weise
enthält der Energie-Impuls-Tensor die maximale Teilinformation der Wahrscheinlichkeitsverteilungen
der Flugrichtungen, die durch Messung mittels Testflächen extrahierbar ist.
Einzelne Teilchen
Die obigen Überlegungen im R3 treffen in analoger Weise auch auf die 4-dimensionale ART
zu. Der Energie-Impuls-Tensor T µν eines einzelnen Teilchens, dass sich entlang der Bahn y(τ)
bewegt, ist also proportional zu mu µ uν , wobei u µ = d
dτ yµ die Vierergeschwindigkeit des Teilchens
ist, die ihrerseits als Ableitung der Trajektorienkoordinate y µ (τ) nach der Eigenzeit τ
definiert ist. Weil das Teilchen in vier Dimensionen nicht durch einen Punkt, sondern durch eine
Trajektorie (Weltlinie) beschrieben wird, muss man über diese Trajektorie integrieren. Der
Energie-Impuls-Tensor eines einzelnen Teilchens, das sich auf der Bahn y(τ) bewegt, ist also
durch
T µν �
(x) = m dτ δ 4 (x − y(τ)) dyµ (τ) dy
dτ
ν (τ)
(6.18)
dτ
gegeben. Sofern das Teilchen keinen äußeren Kräften unterliegt, gilt der Erhaltungssatz
∂µT µν = 0. (6.19)
Haye Hinrichsen — Allgemeine Relativitätstheorie