Relativitätstheorie - Fakultät für Physik und Astronomie - Universität ...

6.2 Feldgleichungen 133
Damit lauten die Feldgleichungen in voller Form:
bzw. mit dem Einsteintensor
Rµν − 1
2 Rgµν + Λgµν = 8πG
c 4 Tµν (6.11)
Eµν + Λgµν = 8πG
c 4 Tµν . (6.12)
Bemerkung: Waraum ist die Kopplungskonstante γ proportional zu G −1 und nicht zu G? Um das
zu verstehen, kann man sich vorstellen, dass der Wirkungsbeitrag der Materie durch einen Wirkungsbeitrag
des Gravitationsfeld ‘kompensiert’ und damit die Gesamtwirkung minimal gehalten wird. Je
kleiner γ ist, um so größer muss das kompensierende Gravitationsfeld sein. Da das Gravitationsfeld
aber ohne Kopplungskonstante direkt in die kovarianten Ableitungen der Bewegungsgleichungen für
die Teilchen eingreift, werden deshalb für kleine γ die Teilchenbahnen stärker durch Gravitationseffekte
gekrümmt werden.
Wenn man beide Seiten der obigen Feldgleichungen mit g µν kontrahiert, erhält man eine skalare
Beziehung
−R + 4Λ = 8πG
T , (6.13)
c4 wobei R = R µ µ der Krümmungsskalar und T = T µ µ die Spur über den Energie-Impuls-Tensor
ist. Diese Beziehung kann dazu benutzt werden, um den zweiten Term in den Feldgleichungen
auf die andere Seite zu bringen. Wir gelangen so zu der alternativen Form der Feldgleichungen
Rµν = Λgµν + 8πG
c4 �
Tµν − 1
T gµν
2
�
. (6.14)
Die Einsteinschen Feldgleichungen ermöglichen uns, im Prinzip bei gegebener Energie-Impuls-
Verteilung der Materie den Ricci-Tensor auszurechnen. Damit kennt man aber noch nicht den
Riemannschen Krümmungstensor, und es stellt sich die Frage, ob dieser Tensor vierter Stufe
mehr Information enthält als der zweistufige Ricci-Tensor, und wenn ja, welche. Einen physikalischen
Wink geben uns die Gleichungen bereits selbst: Im Vakuum bei verschwindender
kosmologischer Konstante ist nämlich Rµν = 0. Das bedeutet jedoch nicht, dass die Raumzeit
flach ist, dass also R µ
ναβ = 0 ist. Wie wir sehen werden, lässt die verbleibende Freiheit Gravitationswellen
zu.
6.2.4 Form des Energie-Impuls-Tensors
Für einen gegebenen Lagrangian LM der Materie führt die Variation des Wirkungsintegrals
SM = � d 4 x √ −gLM durch Anwendung von Standardmethoden auf
δSM =
�
d 4 x
womit der Energie-Impuls-Tensor durch
�
∂( √ −gLM)
∂g µν
� √
∂( −gLM)
−
∂g µν
�
�
δg
,λ
,λ
µν
Tµν = − 2
�
∂(
√
−g
√ −gLM)
∂g µν
� √
∂( −gLM)
−
∂g µν
�
�
,λ
,λ
Haye Hinrichsen — Allgemeine Relativitätstheorie
(6.15)
(6.16)