Relativitätstheorie - Fakultät für Physik und Astronomie - Universität ...

132 Feldgleichen der Allgemeinen Relativitätstheorie
Durch Variationsrechnung (hier ohne Beweis) erhält man
�
√−g�
δSG = γ Rµν − 1
2 Rgµν
�
+ Λgµν δg µν d 4 x (6.6)
Ohne Anwesenheit von Materie muss SG extremal sein, d.h. δSG = 0. Da alle Komponenten des
metrischen Tensors unabhängig variiert werden können, muss der Integrand verschwinden. Auf
diese Weise erhält man die Feldgleichungen im Vakuum
Rµν − 1
2 Rgµν + Λgµν = 0. (6.7)
Die Kombination aus Ricci-Tenor und Ricci-Skalar bezeichnet man auch als Einstein-Tensor
Eµν := Rµν − 1
2 Rgµν , (6.8)
der in der Literatur auch oft mit Gµν bezeichnet wird. Die Vakuum-Feldgleichungen nehmen
dann die Form Eµν + Λgµν = 0 an.
6.2.3 Wirkung SM der Materiefeldes und Form der Feldgleichungen
Lagrangian des Standardmodells
Materie ist aus der Sicht eines Relativisten alles, was keine
Gravitation ist, also im wesentlichen der gesamte Teilchenund
Strahlungsinhalt des Standardmodells der Elementarteilchenphysik.
So kompliziert dieser Lagrangian auch sein
mag, wird bei einer Variation der Metrik die Variation der
Wirkung SM immer die Form
δSM = − 1
�
2
Tµν δg µν √ −gd 4 x, (6.9)
annehman, d.h. man erhält ein bestimmtes Tensorfeld
zweiter Stufe, das kontrahiert mit der Variation δg gerade
die skalare Änderung der Wirkung ergibt. Dieser
Tensor heißt Energie-Impuls-Tensor. Da nach einer
symmetrischen Größe variiert wird, ist das Tensorfeld
T(x) ebenfalls symmetrisch. Wie dieses Tensorfeld in
bestimmten Fällen aussieht, wird im folgenden Abschnitt
besprechen.
Führt man nun die Variationsrechnung für die gesamte Wirkung S = SG + SM aus, erhält man in
Gl. (6.7) einen Term 1
2γ Tµν auf der rechten Seite. Wir werden im folgenden Kapitel die eine Näherung
für schwache Gravitationsfelder betrachten und mit der Newtonschen Gravitationstheorie
vergleichen. Dieser Vergleich wird zeigen, dass die Kopplungskonstante γ bis auf geometrische
Faktoren durch die reziproke Newtonsche Gravitationskonstante gegeben ist:
γ = c4
16πG
Haye Hinrichsen — Allgemeine Relativitätstheorie
(6.10)