Relativitätstheorie - Fakultät für Physik und Astronomie - Universität ...

6 Mathematische Grundlagen
s ◦ s = e. Die Abbildung h : Pn → Pn mit
h(p) =
�
e falls sign(p) = 1
s falls sign(p) = −1
ist ein Endomorphismus von Pn auf sich selbst. Dieser Endomorphismus erhält lediglich das Signum
der Permutation und bildet es auf eine bestimmte Transposition ab.
(d) Die Gruppe der reellen Zahlen ohne Null R\0 mit der Verknüpfung der Multiplikation wird durch
Kehrwertbildung auf sich selbst abgebildet. Da die Kehrwertbildung invertierbar ist, handelt es sich
um einen Automorphismus.
1.1.6 Kern, Bild und dazugehörige Quotientengruppen
Um den Informationsverlust eines Homomorphismus auszudrücken, betrachtet man
- den Kern ker(h) = {a ∈ G|h(a) = e ∈ H}, also die Teilmenge von G, die vom
Homomorphismus ‘wegprojeziert’ wird, und
- das Bild img(h) = {h(a) ∈ H |a ∈ G}, also die Teilmenge von H, die vom
Homomorphismus erreicht wird.
Der Kern eines Homomorphismus ist ein Normalteiler, denn für alle b ∈ G gilt
b ∗ ker(h) = ker(h) ∗ b = {a ∈ G|h(a) = h(b)} ⇒ ker(h) � G
Damit induziert jeder Homomorphismus automatisch eine Quotentiengruppe G/ker(h). Umgekehrt
existiert zu jedem gegebenen Normalteiler einer Gruppe ein entsprechender Homomorphismus,
dessen Kern gerade dieser Normalteiler ist.
Beispiel: In den vorangegangenen Beispielen sind die entsprechenden Quotientengruppen
(a) (R,+)/SO(2) ∼ = 2πZ (Verschiebungen um Vielfache von 2π)
(b) (R,+)/{0} = (R,+) (Isomorphismen dividieren nichts heraus)
(c) Pn/{e,s} ∼ = Pn/Z2 (Menge aller positiven Permutationen)
(d) (R\{0},·)/{1} = (R\{0},·) (Automorphismen dividieren nichts heraus)
1.2 Vektorräume
1.2.1 Körper
Ein Körper K (engl. field) ist eine Menge von Elementen, die man sowohl addieren (+) als auch
multiplizieren (·) kann. Ein Körper (K,+,·) erfüllt die folgenden Axiome:
(i) (K,+) ist eine kommutative Gruppe.
(ii) (K\{0},·) ist eine kommutative Gruppe.
(iii) Addition und Multiplikation sind miteinander verträglich, so dass man Ausdrücke nach
der Regel “Punkt vor Strichrechnung” ausmultiplizieren kann, d.h. es gilt das Distributivgesetz
a · (b + c) = a · b + a · c und (a + b) · c = a · c + b · c.
Haye Hinrichsen — Allgemeine Relativitätstheorie