Relativitätstheorie - Fakultät für Physik und Astronomie - Universität ...

6.2 Feldgleichungen 131
diese Denkweise richtig. In der Allgemeinen Relativitätstheorie wird aber die Raumzeit selbst
zum dynamischen Objekt, eine Variation der Raumzeit im ersten Integral führt deshalb in der
Regel auch zu einer Änderung im zweiten Integral, weil nämlich dort über die Raumzeit integriert
wird. In einer Koordinatendarstellung äußert sich diese Kopplung dadurch, dass man im
zweiten Integral alle partiellen Ableitungen durch kovariante Ableitungen ersetzen muss und
damit der Wert des Integrals von den Christoffelsymbolen abhängen wird.
Da die beiden Wirkungsanteile also indirekt über die Geometrie der Mannigfaltigkeit gekoppelt
sind, muss man durch eine Kopplungskonstante γ angeben, wie stark die beiden Wirkungsanteile
gewichtet sind. Diese Kopplungskonstante hat die Qualität einer neuen Naturkonstanten
und beschreibt, wie stark eine Masse die Raumzeit verbiegt.
Zu variierende Größen
Welche Größen sind in den Wirkungsintegralen zu variieren, um zu den Bewegungsgleichungen
zu gelangen? Da die Bahn eines Teilchens im Gravitationsfeld eine geodätische Linie ist, also
wegen Gl. (4.25) von den Christoffelsymbolen abhängt, diese aber wiederum via Gl. (4.31)
vom metrischen Tensor abhängen, sind es die Komponenten des metrischen Tensors, die variiert
werden müssen.
Bemerkung: Es gibt mehrere formale Herangehensweisen, die sich darin unterscheiden, welche Größen
man als ‘das Gravitationsfeld’ betrachtet. Die traditionelle ursprünglich von Einstein benutzte
Herangehensweise interpretiert die Metrik als das Gravitationsfeld, variiert also nach den Komponenten
des metrischen Tensors. Diese Methode hat allerdings den Nachteil, dass man fermionische
Quantenfelder nicht konsistent integrieren kann, und wird deshalb zunehmend durch modernere Varianten
abgelöst, von denen wir einige weiter unten besprechen werden. Die wichtigste heute benutzte
Variante interpretiert die lokale Minkowski-Basis (Vierbein) als Gravitationsfeld.
6.2.2 Wirkung SG des Gravitationsfeldes und Feldgleichungen im Vakuum
Welche Form hat die Lagrangedichte des Gravitationsfeldes? Auch hier lässt man sich vom
heuristischen Prinzip der Einfachheit leiten.
Der einfachste Skalar, der die Krümmung der Mannigfaltigkeit beschreibt, ist der Ricci-
Krümmungsskalar R = R µ µ. Doch gibt es noch einen einfacheren Skalar, nämlich eine Konstante.
Diese hat einen physikalischen Effekt, denn sie würde in der Lagrangedichte zu einem Term
führen, der proportional zum Vierervolumen ist (also in Differentialformen der Volumenform
entsprechen). Eine solche Konstante würde also je nach Vorzeichen eine homogene Expansion
oder eine Kontraktion der Raumzeit bewirken, also wie ein gravitativer bzw. antigravitativer homogener
“Äther” das gesamte Universum durchsetzen. Bezeichnet man diese Konstante als 2Λ,
dann lautet die Wirkung des Gravitationsfeldes
�
SG = γ (R − 2Λ) √ −g d 4 x. (6.5)
Die Konstante Λ bezeichnet man als kosmologische Konstante. Sie hat eine wechselvolle Geschichte,
auf die wir noch später zurückkommen werden.
Haye Hinrichsen — Allgemeine Relativitätstheorie