Relativitätstheorie - Fakultät für Physik und Astronomie - Universität ...

6.1 Konzept der Allgemeinen Relativitätstheorie 129
Abbildung 6.2: Einsteins Problem: Die Mannigfaltigkeit wird durch eine raumartige Fläche (gestrichelte Linie) in
zwei Bereiche unterteilt. Ein aktiver Diffeomorphismus bildet dann ausschließlich den oberen Teil
in nichttrivialer Weise ab. Die neue Trajektorie muss dann auch Lösung der Gleichungen sein. Da
aber die Anfangsbedingung unverändert bleibt, ist nicht klar, warum verschiedene Trajektorien
mit gleichen Anfangsbedingungen entstehen können. Siehe Text.
nigfaltigkeit vor, die durch eine raumartige Hyperfläche in zwei zeitliche Bereiche geteilt wird
(siehe Abb. 6.2). Im unteren Bereich, in dem auch die Anfangsbedingung festgelegt ist, bildet
der Diffeomorphismus identisch ab, modifiziert also die Lösung bzw. den Verlauf der Trajektorien
nicht, Im obeneren Bereich dagegen kommt es zu Verschiebungen der Trajektorie. Weil
aber ein aktiver Diffeomorphismus eine Lösung auf eine andere Lösung abbildet, müssen beide
Trajektorien müssen aber Lösungen zu den gleichen Anfangsbedingungen sein. Wie aber kann
es in einer deterministischen Theorie zu einer einzigen Anfangsbedingung mehrere Lösungen
geben?
6.1.4 Die physikalische Bedeutung der Mannigfaltigkeit
Einstein kostet dieses “Ringen um die Bedeutung von Koordinaten” mehrere Jahre. Er verwirft
frühere Publikationen und experimentiert erfolglos mit nicht-kovarianten Ansätzen. Erst 1915
kehrt er zur kovarianten Formulierung zurück und dann geht alles ganz schnell. Er realisiert
nämlich, dass die beiden Lösungen im obigen Beispiel zwar auf der Mannigfaltigkeit verschieden
aussehen, aber dennoch dieselbe physikalische Situation beschreiben. Die Folgerung:
Die Punkte der Mannigfaltigkeit haben
keine direkte physikalische Bedeutung.
Man darf also nicht die Punkte der Mannigfaltigkeit mit den physikalischen Ereignissen identifizieren.
Wenn man also liest (wie auch in diesem Skript), dass die allgemeine Relativitätstheorie
auf einer gekrümmten Raumzeit beruht die durch eine differenzierbare Mannigfaltigkeit M beschrieben
wird, dann stellt man sich vor, dass M diese Raumzeit ist, doch diese Vorstellung ist
falsch!
Was aber ist dann die Mannigfaltigkeit? Sie ist eine Art Projektionsfläche für die Theorie, auf
der die gleiche Physik auf unendlich viele verschiedene Weisen abgebildet werden kann. Sie ist
eine Art mathematisches Vehikel, mit dem wir die Physik nur auf eine hochgradig redundante
Weise darstellen können. Sie existiert aber nicht wirklich.
Haye Hinrichsen — Allgemeine Relativitätstheorie