Relativitätstheorie - Fakultät für Physik und Astronomie - Universität ...

128 Feldgleichen der Allgemeinen Relativitätstheorie
erträumt hätte.
6.1.3 Invarianz unter Diffeomorphismen
Wie könnte eine solche “allgemeine Relativitätstheorie” aussehen? Eine notwendige Voraussetzung
ist, dass die physikalischen Gesetze nicht nur in Intertialsystemen, sondern in beliebigen
Bezugssystemen gelten. Die allgemeine Relativitätstheorie muss also in beliebigen Koordinatensystemen
formulierbar sein, ihre Formeln müssen also auch im Bezugssystem eines Achterbahnfahrers
korrekt sein. Intuitiv ist klar, dass man das nur erreichen kann, wenn die ‘normalen’ Bewegungsgleichungen
um Korrekturterme erweitert werden, welche die Beschleunigungseffekte
in solchen Bezugssystemen kompensieren, man benötigt also eine Art Beschleunigungseichfeld.
Dieses Eichfeld ist das Gravitationsfeld.
Wenn die Formeln der allgemeinen Relativitätstheorie in jedem Bezugssystem, also in jedem
Koordinatensystem korrekt sind, müssen sie unter beliebigen Koordinatentransformationen forminvariant
sein. Solche Abbildungen bezeichnet man als passive Diffeomorphismen.
Zur Erinnerung: Ein Diffeomorphismus ist eine bijektiv stetig differenzierbare Abbildung, deren
Umkehrabbildung ebenfalls stetig differenzierbar ist.
Nachdem sich Einstein in die Differentialgeometrie eingearbeitet hatte, war relativ schnell
klar, dass die aus dem metrischen Tensor bestimmten Christoffelsymbole das Gravitationsfeld
codieren und dass Teilchen, die nur der Gravitationskraft unterliegen, sich in der gekrümmten
Raumzeit auf geodätischen Linien bewegen. Damit waren bereits wesentliche Elemente der
Theorie fixiert. Dann aber stieß Einstein auf zwei schwierige Probleme. Eines davon war die
geforderte Forminvarianz beim Wechsel zwischen beliebigen Koordinatensystemen, also Kovarianz
unter passiven Diffeomorphismen. Diese Problem lässt sich wie folgt beschreiben.
In Abschnitt 1.3.3 auf S. 11 haben wir den Unterschied zwischen aktiven und passiven Transformationen
diskutiert. Angenommen, man würde beschließen, den Nullmeridian nicht mehr
durch Greenwich sondern durch Würzburg laufen zu lassen. Auf einer Karte würden sich durch
solch eine passive Transformation die Koordinaten aller Städte ändern. Alternativ könnte man
aber auch die Städte abreißen und weiter westlich wiederaufbauen, – der Effekt einer solchen
aktiven Transformation auf die Koordinaten wäre identisch. Würzburg läge dann allerdings irgendwo
in Frankreich.
Für die allgemeinene Relativitätstheorie gilt dies in ganz ähnlicher Weise: Zu jeder passiven
Koordinatentransformation auf der Karte muss es eine entsprechende aktive Transformation auf
der Mannigfaltigkeit (der echten Raumzeit) geben, so dass auf der Karte der gleiche Effekt erzielt
wird. Die Bewegungsgleichungen müssen also sowohl unter passiven als auch unter aktiven
Diffeomorphismen invariant sein. Mit anderen Worten: Eine Lösung der Feldgleichungen muss
durch einen beliebigen Diffeomorphismus wieder in eine andere Lösung übergehen.
Soweit ist das im Prinzip nichts Neues. Auch in der speziellen Relativitätstheorie gehen Lösungen
der Bewegungsgleichungen durch Lorentz-Transformation wieder in Lösungen über. In
der allgemeinen Relativitätstheorie ist lediglich die Invarianzgruppe sehr viel größer, sie umfasst
nämlich alle Diffeomorphismen. Aber genau hier liegt das Problem. Man kann nämlich
spezielle Diffeomorphismen konstruieren, die einen Teil der Mannigfaltigkeit identisch, einen
anderen jedoch nichttrivial abbilden. Als Cartoon stellen wir und eine 1+1-dimensionale Man-
Haye Hinrichsen — Allgemeine Relativitätstheorie