Relativitätstheorie - Fakultät für Physik und Astronomie - Universität ...

1.1 Elemente der Gruppentheorie 5
Beispiel: Auf das vorhergehende Beispiel bezogen ist O(3)/Z2 = SO(3) die Gruppe der orthogonalen
Transformationen ohne Spiegelungen. Ein weiteres Beispiel ist die Permutationsgruppe Pn mit der
Untergruppe der zyklischen Verschiebungen Zn, z.B.
P3 = {123,132,213,231,312,321}, Z3 = {123,231,312} ⇒ P3/Z3 = {〈123〉,〈132〉}.
Da Zn ⊳ Pn ein Normalteiler ist, existiert die Quotientengruppe Pn/Zn, bestehend aus allen Umordnungen
bis auf zyklische Verschiebung. Offenbar ist Pn/Zn ∼ = Pn−1.
1.1.5 Homomorphismen
Ein Homomorphismus (von homomorph = ähnlich geformt) ist eine Abbildung, welche im weitesten
Sinne die Struktur des abzubildenden Objekts erhält. 1 Je nach Art der Abbildung wird der
Begriff des Homomorphismus weiter präzisiert:
- Ein Isomorphismus ist ein bijektiver, also invertierbarer Homomorphismus.
- Ein Endomorphismus ist ein Homomorphismus eines Objekts auf sich selbst.
- Ein Automorphismus ist ein Isomorphismus eines Objekts auf sich selbst.
Iso- bzw. Automorphismen erhalten also die Struktur ohne Informationsverlust, während Homobzw.
Endomorphismus die Struktur nur teilweise erhalten, vergleichbar mit einer Projektion. Je
nach Art der abgebildeten Objekte unterscheidet man verschiedene Arten von Homomorphismen.
Ein Gruppenhomomorphismus ist eine Abbildung h : G → H von einer Gruppe G in eine
Gruppe H, so dass für alle a,b ∈ G gilt
h(a ∗ b) = h(a) ∗ h(b). (1.1)
Dabei bezeichnen die Sterne auf der linken und rechten Seite die Gruppenverknüpfung in G
bzw. H. Die Definition besagt, dass die Gruppenverknüpfung von G durch h strukturerhaltend
auf die Gruppenverknüpfung von H abgebildet wird. Aus dieser Gleichung folgt ebenfalls, dass
ein Gruppenhomomorphismus das Inverse durchschleift, also h(a −1 ) = h(a) −1 ist.
Zwei Gruppen heißen isomorph (gleich gebaut), wenn zwischen ihnen ein Isomorphismus
existiert. Üblich ist die Notation G ∼ = H. Im Gegensatz zum Isomorphismus, der die Gruppenstruktur
ohne Informationsverlust abbildet, kann ein Homomorphismus die Gruppenstruktur
von G teilweise oder ganz ‘wegprojezieren’. Ein extremer Fall ist die triviale Abbildung
h : G → H : a → e ∈ H, die jedes Element von G auf das neutrale Element von H abbildet, jede
Gruppe ist also homomorph zur Identität.
Beispiel:
(a) Die Gruppe der reellen Zahlen mit der Verknüpfung + ist homomorph zur Gruppe SO(2) der
Drehungen um den Ursprung in einer Ebene, wobei die reelle Zahl auf den Drehwinkel abgebildet
wird. Diese Abbildung ist nicht invertierbar, da Drehwinkel modulo 2π nicht unterscheidbar sind.
(b) Die Gruppe der reellen Zahlen mit der Verknüpfung + ist isomorph zur Gruppe der positiven reellen
Zahlen mit der Verknüpfung ·, wobei die Exponentialfunktion der (invertierbare) Isomorphismus
zwischen den beiden Gruppen ist. Wir schreiben (R,+) ∼ = (R + ,·).
(c) Sei Pn die Gruppe der Permutationen von n Objekten, die identische Permutation e ∈ Pn das
entsprechende neutrale Element und s ∈ Pn mit s �= e eine willkürlich gewählte Transposition, d.h.
1 Davon zu unterscheiden ist der Begriff des Homeomorphismus, der die Topologie eines Objektes erhält.
Haye Hinrichsen — Allgemeine Relativitätstheorie