Relativitätstheorie - Fakultät für Physik und Astronomie - Universität ...

5.3 Elektrodynamik in Differentialformen 119
5.3.3 Wellengleichung
Wendet man den Hodge-Stern-Operator auf die inhomogenen Maxwellgleichungen d⋆ dA = ⋆J
an, so erhält man
d † dA = J. (5.32)
Da der Laplacian durch � = −d † d − dd † gegeben ist, folgt daraus �A = −J − dd † A. Mit der
Lorenz-Eichung
d † A = 0 (5.33)
erhalten wir die Wellengleichung
5.3.4 Darstellung der Elektrodynamik
�A = −J. (5.34)
In einem gegebenen Bezugssystem mit Minkowski-Koordinaten lassen sich die in der Elektrondynamik
verwendeten Differentialformen folgendermaßen darstellen:
A = φ dx 0 + Ax dx 1 + Ay dx 2 + Az dx 3
F = Ex dx 1 ∧ dx 0 + Ey dx 2 ∧ dx 0 + Ez dx 3 ∧ dx 0
+ Bx dx 2 ∧ dx 3 + By dx 3 ∧ dx 1 + Bz dx 1 ∧ dx 2
(5.35)
(5.36)
J = ρ dx 0 + jx dx 1 + jy dx 2 + jz dx 3 . (5.37)
Dabei ist φ das Potential, �A = (Ax,Ay,Az) das Vektorpotential, �E = (Ex,Ey,Ez) das elektrische
Feld, �B = (Bx,By,Bz) das magnetische Feld, ρ die Ladungsdichte und �j = ( jx, jy, jz) die Stromdichte.
In dieser Darstellung sind die entsprechenden Hodge-Duals gegeben durch
⋆F = Bx dx 0 ∧ dx 1 + By dx 0 ∧ dx 2 + Bz dx 0 ∧ dx 3
+ Ex dx 2 ∧ dx 3 + Ey dx 3 ∧ dx 1 + Ez dx 1 ∧ dx 2
⋆J = ρ dx 1 ∧ dx 2 ∧ dx 3
5.3.5 Ladungserhaltung
− jx dx 2 ∧ dx 3 ∧ dx 0 − jy dx 3 ∧ dx 1 ∧ dx 0 − jz dx 1 ∧ dx 2 ∧ dx 0
(5.38)
(5.39)
In betrachten nun ein dreidimensionales räumliches Gebiet G in dieser Darstellung2 und integrieren
die inhomogenen Maxwellgleichungen über dieses Gebiet
� � �
⋆J = d ⋆ F = ⋆F (5.40)
G
G
wobei auf der rechten Seite das Stokesche Theorem angewandt wurde. Da sowohl G als auch
∂G räumlich sind, tragen im Integranden nur soche Terme bei, die kein dt = dx 0 enthalten. So
ist z.B. � �
⋆J = ρ dx 1 ∧ dx 2 ∧ dx 3 �
= ρ(�x)d 3 x = Q (5.41)
G
G
2 Ein räumliches Gebiet hat keine zeitliche Ausdehnung. Beachten Sie, dass diese Eigenschaft im allgemeinen beim
Wechsel des Bezugssystems verloren geht.
∂G
Haye Hinrichsen — Allgemeine Relativitätstheorie
G