Relativitätstheorie - Fakultät für Physik und Astronomie - Universität ...

118 Elektrodynamik als Eichtheorie
kann man leicht zeigen, dass sich daraus die Maxwellgleichungen ∇ · �E = 0 und ∂t �E = ∇ ×�B.
5.3 Elektrodynamik in Differentialformen
5.3.1 U(1)-Eichsymmetrie
In der Elektrodynamik wird die U(1)-Symmetrie der Phasenlage z(x) durch einen kovarianten
Zusammenhang
∇X = X − iA(X) (5.23)
beschrieben, wobei i der Generator der entsprechenden Lie-Algebra ist und A eine 1-Form ist,
welche die Änderung der Phase in Richtung X beschreibt. Unter Eichtransformationen z(x) →
z(x)e i f (x) transformiert sich A gemäß
so dass die äußere Ableitung
A → A + df (5.24)
F = dA (5.25)
eichinvariant ist und damit die physikalischen Felder beschreibt. Da F eine exakte Form ist,
folgen daraus die homogenen Maxwellgleichungen
5.3.2 Wirkung
dF = 0. (5.26)
Die Wirkung des elektromagnetischen Feldes S ist das 4-dimensionale Volumenintegral
�
S = L (5.27)
über die 4-Form
L[A, dA] = − 1
dA ∧ ⋆dA + A ∧ ⋆J. (5.28)
2
wobei die 1-Form J die Ladungsstromdichte ist1 . Durch Variation der Wirkung gelangt man zu
den Lagrangeschen Gleichungen
∂L ∂L
+ d = 0 (5.29)
∂A ∂(dA)
in Form der inhomogenen Maxwellgleichungen
d ⋆ F = ⋆J. (5.30)
Wegen d 2 = 0 folgt daraus die Kontinuitätsgleichung für die Ladungserhaltung
d ⋆ J = 0. (5.31)
1 In der Literatur wird oft zunächst die Ladungsstromdichte als 3-Form ¯J definiert. Diese 3-Form beschreibt die
Impuls, der durch die dreidimensionale Hyperfläche hindurchtritt, welche durch die drei Vektoren aufgespannt
wird. Die hier verwendete 1-Form J = ⋆¯J beschreibt also den Impuls, der durch eine Hyperfläche hindurchtritt,
die senkrecht auf dem Eingangsvektor steht. Ihre Komponenten sind die Ladungsdichte σ und der Ladungsstrom
j.
Haye Hinrichsen — Allgemeine Relativitätstheorie