Relativitätstheorie - Fakultät für Physik und Astronomie - Universität ...

5.2 Elektrodynamik im Vakuum 117
Verbindungselemente zwischen den Kreisen: Sie müssen nicht unbedingt gerade sein, sondern
dürfen sich durchaus verdrehen, aber nur so, dass dabei die Wirkung des elektromagnetischen
Feldes extremal ist. Mit der Definition der Wirkung fließt an dieser Stelle in die Theorie ein, wie
die Verbindungselemente physikalisch funktionieren.
Anschaulich muss die Wirkung ein skalares Maß für den Stress im Gesamtsystem sein, also
Maß für die ‘Torsion’ im Verbindungsgefüge. Für ein System ohne verdrehte Verbindungen,
also in einem feldfreien Raum, muss sie ihren minimalen Wert annehmen. Man kann jedoch
durch Vorgabe von Randbedingungen (beispielsweise durch ‘verdrehte’ Anfangsbedingungen)
eine Torsion im Verbindungsgefüge erzwingen. Das Prinzip der kleinsten Wirkung muss dann
die übrigen Verbindungselemente genau so justieren, dass die Torsion im Gesamtsystem minimiert
wird. Das Ergebnis ist eine bestimmte raumzeitliche Verbindungskonfiguration, nämlich
die einer elektromagnetischen Welle.
Beim Auffinden der Form der Wirkung lassen sich Physiker gerne vom heuristischen Prinzip
der Einfachheit leiten. Demnach ist die in der Natur realisierte Wirkung die jeweils einfachste,
die mit den Symmetrien des Systems vereinbar ist. Im Fall der U(1)-Eichtheorie bedeutet das
folgendes: Zunächst muss sich die Wirkung als ein raumzeitliches Volumenintegral
�
S = d 4 xL (5.17)
über einer skalaren Lagrangedichte L schreiben lassen. Da die Lagrangedichte als Skalar darstellungsunabhängig
ist, muss sie unter Eichtransformationen invariant sein, darf also nur von
den ‘echten’ Feldern abhängen, sollte also eine Funktion des Feldstärketensors sein. Der einfachste
Skalar, der aus F gebildet werden kann, ist die Spur F µ µ , die allerdings immer gleich
Null ist – dieser Versuch war also zu einfach. Die nächste naheliegende Möglichkeit wäre, den
Tensor mit sich selbst zu kontrahieren, d.h.
L = − 1
4 F µν Fµν
(5.18)
wobei der Vorfaktor −1/4 eine Konvention ist.
Wir variieren nun das Verbindungsgefüge infinitesimal durch A → A + δA und fragen nach
der entsprechenden Änderung der Wirkung S → S + δS. Offenbar ist
δS = − 1
�
2
d 4 xF µν δFµν = − 1
�
d
2
4 xF µν = −
(∂µδAν − ∂νδAµ)
1
�
2
d 4 x(F µν − F νµ �
)∂µδAν = − d 4 xF µν ∂µδAν .
(5.19)
Durch partielle Integration gelangt man zu
�
δS = d 4 xδAν ∂µF µν . (5.20)
Da die δAν unabhängig variiert werden können, ist die Wirkung genau dann extremal, wenn gilt
∂µF µν = 0. (5.21)
Diese Gleichungen bilden den zweiten Satz von Maxwell-Gleichungen. Mit der kontravarianten
Darstellung des Feldstärketensors
F µν ⎛
⎞
0 Ex/c Ey/c Ez/c
⎜
= ⎜−Ex/c
0 Bz −By ⎟
⎝
⎠
(5.22)
−Ey/c −Bz 0 Bx
−Ez/c By −Bx 0
Haye Hinrichsen — Allgemeine Relativitätstheorie