Relativitätstheorie - Fakultät für Physik und Astronomie - Universität ...

116 Elektrodynamik als Eichtheorie
5.1.7 Das elektromagnetische Feld als Differentialform
Der Kommutator [∇µ,∇ν] einer allgemeinen kovarianten Ableitung ∇µ = ∂µ + Γµ(x) besitzt
normalerweise drei Terme:
[∇µ,∇ν] = ∂µΓν(x) − ∂νΓµ(x) + [Γµ(x),Γν(x)]. (5.12)
Dabei sind die Größen Γµ(x) Generatoren der Symmetriegruppe, also Elemente der dazugehörigen
Lie-Algebra. Der dritte Term kann über die Vertauschungsrelationen der Lie-Algebra
berechnet werden und ist in nichtkommutativen Gruppen ungleich Null. Die Symmetriegruppe
der Elektrodynamik U(1) ist allerdings kommutativ, so dass dieser Term verschwindet.
Da dieser Term wegfällt, kann der Feldstärketensor als äußere Ableitung des Eichfelds interpretiert
werden. Wie man nämlich leicht nachrechnen kann, gilt nämlich für die Formen
die Beziehung
A = Aµdx µ , F = 1
2 Fµν dx µ ∧ dx ν
(5.13)
F = dA. (5.14)
Daraus ergeben sich sofort wegen d 2 = 0 die homogenen Maxwellgleichungen
bzw. in Koordinatendarstellung
dF = 0 (5.15)
∂ρFµν + ∂νFρµ + ∂µFνρ = 0. (5.16)
Bemerkung: Von den 4 3 = 64 möglichen Indexkombinationen sind wegen der Antisymmetrie von F
nur vier linear unabhängig. Diese vier Gleichungen lauten:
∂0F12 + ∂2F01 + ∂1F20 = 0
∂0F13 + ∂3F01 + ∂1F30 = 0
∂0F23 + ∂3F02 + ∂2F30 = 0
∂1F23 + ∂3F12 + ∂2F31 = 0.
Einsetzen der Felder �E und �B gemäß Gl. (5.11) liefert
∂tBz − ∂yEx + ∂xEy = 0
−∂tBy − ∂zEx + ∂xEz = 0
∂tBx − ∂zEy + ∂yEz = 0
∂xBx + ∂yBy + ∂zBz = 0.
Die ersten drei und die letzte Gleichung lassen sich schreiben als ∂t �B = −∇ × �E bzw. ∇ ·�B = 0.
Die homogenen Maxwellgleichungen reflektieren also geometrische Eigenschaften sowie die
Kommutativität der Eichgruppe. Sie sagen noch nichts über die Dynamik und die Wechselwirkung
mit Ladungen aus.
5.2 Elektrodynamik im Vakuum
5.2.1 Wirkungsfunktional
In der klassischen Physik muss ein Teilchen nicht ruhen, sondern es darf sich auf vielfältige Weise
bewegen, allerdings nur so, dass dabei die Wirkung extremal ist. Ähnliches gilt auch für die
Haye Hinrichsen — Allgemeine Relativitätstheorie