Relativitätstheorie - Fakultät für Physik und Astronomie - Universität ...

5.1 U(1)-Eichtheorie 115
Rate der Verdrehung auf den Kreisen bei Bewegung in eine vorgegebene räumliche Richtung.
Der Zusammenhang ∇ ist also ein Feld von Lie-Gruppen-wertigen 1-Formen. ∇ spielt hier eine
ganz ähnliche Rolle wie ein Zusammenhang in der Differentialgeometrie, nur dass er statt auf
den Tangentialraum nun auf die inneren Freiheitsgrade wirkt. Wir erkennen hier also ein weiteres
allgemeines Konstruktionsprizip von Eichtheorien:
Der Zusammenhang ∇ einer Eichtheorie ist eine lineare Abbildung eines raumzeitlichen
Richtungsvektors auf die Lie-Algebra der entsprechenden Symmetriegruppe
und beschreibt die Rate, mit der der innere Freiheitsgrad bei einer
Bewegung in diese Richtung transformiert wird.
Eichtransformationen z(x) → ˜z(x) = e i f (x) z(x) lassen den abstrakten Zusammenhang ∇ zwar
unverändert, führen jedoch zu einer Änderung seiner Darstellung:
Aµ(x) → õ(x) = Aµ(x) + ∂µ f (x) (5.8)
Eichfelder sind also physikalisch äquivalent, wenn sie durch Addition des Gradienten einer skalaren
Funktion f (x) auseinander hervorgehen.
5.1.6 Intrinsische Krümmung: Das elektromagnetische Feld
Die Verdrehung entlang eines geschlossenen Wegs kann man als eine Verwindung bzw. Krümmung
des intrinsischen Raums interpretieren. Der darunterliegende Ortsraum bzw. Raumzeit
bleibt dagegen ungekrümmt. Mit der oben eingeführten kovarianten Ableitung ergibt sich der
Krümmungstensor F, eine 2-Form, die auf zwei Richtungsvektoren X,Y folgendermaßen wirkt:
�
�
F(X,Y) = i [∇X,∇Y] − ∇ [X,Y] . (5.9)
Dabei wurde der Generator i herausdividiert, so dass diese 2-Form anschaulich den Verdrehungswinkel
im Bogenmaß liefert, den der Käfer beim Durchlaufen eines von X und Y aufgespannten
geschlossenen Weges feststellt. Weil diese 2-Form darstellungsfrei definiert ist, ist sie
automatisch unabhängig von der Wahl des Koordinatensystems im intrinsischen Freiheitsgrad,
also invariant unter Eichtransformationen.
Wir wollen nun die Komponenten dieses Tensors in einer gegebenen Koordinatenbasis berechnen.
Da die Lie-Klammer in einer Koordinatenbasis stets gleich Null ist, verschwindet der
letzte Term und wir erhalten
Fµν = F(∂µ,∂ν) = i[∇µ,∇ν] = ∂µAν − ∂νAµ . (5.10)
Die Tensorkomponenten repräsentieren das elektromagnetische Feld und sind per Definition
unter U(1)-Eichtransformationen invariant. Im R3+1 ⊕U(1) sind sie gegeben durch
⎛
0
⎜
Fµν = ⎜Ex/c
⎝Ey/c
−Ex/c
0
−Bz
−Ey/c
Bz
0
⎞
−Ez/c
−By ⎟
Bx ⎠
(5.11)
Ez/c By −Bx 0
Die Felder �E(x) und �B(x) repräsentieren also den von der Eichung unabhängigen Informationsgehalt
des elektromagnetischen Feldes.
Haye Hinrichsen — Allgemeine Relativitätstheorie